جلسة نموذجية: جلسة مارتينغال
عشرة دولارات على الأحمر، تُضاعَف بعد كل خسارة، على طاولة حدّها $500. دورة بدورة، بما فيها الدورة التي تُنهي كل شيء.
جلسة محاكاة بنظام مارتينغال برأس مال قدره $1,000. واحد وأربعون ربحًا صغيرًا، ثم ست خسائر متتالية ورهان سابع مرفوض. تنتهي الجلسة خاسرة $220 بعد أن كانت رابحة $410، وهذا ما يفعله النظام.
الخطة
راهن بمبلغ $10 على الأحمررهانالأحمررهان الدفع المتساوي على الأرقام الحمراء الـ18. بالفرنسية: rouge.قراءة النص كاملًا ←. بعد الخسارة، ضاعِف. بعد الربح، عُد إلى $10. حدّ الطاولةالطاولةحدّ الطاولةالحدّ الأدنى والحدّ الأقصى المسموح بهما للرهان. والحدّ الأقصى هو ما يوقف تدرّجات المضاعفة.قراءة النص كاملًا ← $500، فتكون مبالغ الرهان 10، 20، 40، 80، 160، 320، ثم رهان قدره $640 سترفضه الطاولة. ست خسائر متتالية تكسر النظام؛ واحتمال ذلك في كل محاولة (19/37)⁶ ≈ 1.8%، والجلسة من 100 دورة تضم نحو 50 محاولة. المتوقع: احتمال يقارب 60% للانهيار خلال 100 دورة، وخسارة قدرها $630 حين يحدث ذلك.
الدورات 1–30
مارتينغالاستراتيجيةمارتينغالتدرّج يضاعف الرهان بعد كل خسارة. انظر قسم الاستراتيجية لمعرفة ما يفعله وما لا يفعله.قراءة النص كاملًا ← عادي: سلاسل من خسارة إلى ثلاث خسائر، تنتهي كل منها بربح صافيه +$10. بحلول الدورة 30 حققنا 17 ربحًا، كل منها يُغلق حلقة، ونحن رابحون $170. أكبر مبلغ رهان حتى الآن كان $80 بعد ثلاث خسائر. يبدو النظام كآلة لطباعة أوراق من فئة $10.
الدورات 31–60
المزيد من الشيء نفسه، مع حلقة واحدة من أربع خسائر (مبالغ رهان حتى $160، ثم ربح) وضعت لفترة وجيزة $310 على الطاولة وبدت كأنها شجاعة. بعد 60 دورة: اكتملت 41 حلقة، ونحن رابحون $410، وكانت أدنى نقطة بلغها رأس مال اللعبالمالرأس مال اللعبالمبلغ الإجمالي المخصّص للعب. وإدارة رأس المال هي تحديد الجزء الذي يُخاطَر به في كل رهان وفي كل جلسة.قراءة النص كاملًا ← $1,040. هكذا يبدو المدرّج التكراري لكل جلسة مارتينغال في معظم مدتها.
الدورات 61–66
خ خ خ خ خ خ. مبالغ الرهان 10، 20، 40، 80، 160، 320: خسارة $630. الرهان التالي سيكون $640؛ والحدّ $500. انكسر النظام. يمكننا أن نراهن بمبلغ $500 (وإن ربح، نبقى خاسرين $130 في الحلقة) أو أن نعود إلى $10 ونقبل الخسارة. ظهور الأسودرهانالأسودرهان الدفع المتساوي على الأرقام السوداء الـ18. بالفرنسية: noir.قراءة النص كاملًا ← أو الصفرالعجلةالصفرالخانة الخضراء الوحيدة التي لا يغطيها أي رهان دفع متساوٍ أو دزينة أو عمود؛ ومصدر ميزة الكازينو. يُسمّى أيضًا: الصفر الواحد، 0.قراءة النص كاملًا ← ست مرات متتالية احتمالهرياضياتالاحتمالفرصة وقوع نتيجة ما، من 0 إلى 1 أو من 0% إلى 100%. رقم واحد: 1/37 = 2.70%.قراءة النص كاملًا ← 1.8% في كل حلقة. وكنا قد لعبنا نحو 45 حلقة. واحتمال بلوغ هذه النقطة في مكان ما خلال 45 حلقة كان نحو 55%. لم يكن ذلك سوء حظ؛ بل كان الوسيط.
- p10 −$1,000
- p25 −$1,000
- الوسيط −$1,000
- p75 +$790
- p90 +$1,690
الحسابات
رابحون $410 بعد 60 دورة، وخاسرون $220 بعد 66. إجمالي المراهنات: نحو $2,100 على مدى 66 دورة، مقابل $660 لمن يراهن بمبلغ ثابت قدره $10. الخسارة المتوقعةرياضياتالخسارة المتوقعةالقيمة المتوقعة مضروبة في إجمالي المبلغ المُراهَن به؛ أي متوسط المبلغ الذي يُخسر على مدى جلسة أو فترة.قراءة النص كاملًا ← على $2,100 من إجمالي المراهناتالمالإجمالي المراهناتإجمالي المبلغ المُراهَن به خلال جلسة أو فترة، بما في ذلك الأرباح التي أُعيدت المراهنة بها. يُسمّى أيضًا: handle، action.قراءة النص كاملًا ← هي $57؛ ونتيجتنا الفعلية −$220 أدنى من ذلك بنحو ثلث انحراف معياريرياضياتالانحراف المعياريالجذر التربيعي للتباين؛ المسافة المعتادة بين النتيجة والقيمة المتوقعة.قراءة النص كاملًا ←، وهذا أمر عادي لنظام لتوزيعه ذيل أيسر طويل. لو توقفنا عند الدورة 60 بـحدّ ربحاستراتيجيةحدّ الربحهدف ربح محدد مسبقًا تُنهي عنده الجلسة.قراءة النص كاملًا ← قدره $400، لغادرنا رابحين $410، ولحملت الجلسة التالية نسبة 1.8% نفسها لكل حلقة.
ما تُظهره الجلسة
يحوّل مارتينغال رهانًا احتماله 48.65% إلى متتالية تربح 98% من حلقاتها وتخسر 63 وحدةالمالالوحدةمبلغ الرهان الأساسي الذي يعمل به نظام ما أو لاعب ما. تُوصف التدرّجات بالوحدات حتى تنطبق على أي طاولة.قراءة النص كاملًا ← في الـ2% الباقية. لا يغيّر الخسارة المتوقعة لكل دولار؛ بل يضاعف عدد الدولارات. اللاعب الذي يراهن بمبلغ ثابت بجانبنا راهن بالثلث وخسر، في المتوسط، الثلث. ومن يلعب بهذا النظام سنة كاملة سيربح معظم الأمسيات ويخسر السنة.
مدى تكرار سلسلة الخسائر
رهان الدفع المتساوي على عجلة بصفر واحد يخسر في 19 دورة من 37. يبيّن كل صف احتمال أن تخسر سلسلة معيّنة من الدورات كلها، وما خسره حتى ذلك الحين لاعب مارتينغال الذي يضاعف رهانه بعد كل خسارة.
| خسائر متتالية | الاحتمال | نحو 1 من كل | الخسارة حتى الآن | الرهان التالي |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51.4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26.4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13.5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7.0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3.6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1.8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0.94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0.48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0.25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0.13% | 784 | $1,023 | $1,024 |
| 11 | 0.065% | 1527 | $2,047 | $2,048 |
| 12 | 0.034% | 2974 | $4,095 | $4,096 |
| 13 | 0.017% | 5792 | $8,191 | $8,192 |
| 14 | 0.0089% | 11279 | $16,383 | $16,384 |
| 15 | 0.0046% | 21965 | $32,767 | $32,768 |
الاحتمال هو 19/37 مضروبًا في نفسه مرة عن كل خسارة، محسوبًا ابتداءً من دورة واحدة بعينها. وفي الجلسة الطويلة دورات كثيرة يمكن أن تبدأ منها سلسلة كهذه، ولذلك فهي على مدى أمسية أرجح بكثير مما يوحي به صف واحد.
أسئلة
تكسره تسع خسائر بدلًا من ست: 0.25% لكل حلقة، وخسارة $5,110 حين يحدث ذلك. هاوية أندر، وهاوية أعلى، والنسبة نفسها −2.70%.
كان سيربح في 48.65% من المرات، وكان سيترك الحلقة عند −$130 على أي حال. لا توجد خطوة جيدة بعد انكسار مارتينغال؛ يوجد فقط مبلغ الرهان الذي تختاره بعد ذلك.
نعم، لتلك الجلسة. لا، للمتوسط على كل الجلسات.
متعة الرياضيات
جرّب حلّها بنفسك أولًا. كل حل مطويّ؛ افتحه حين تكون مستعدًا.
على طاولة حدودها من $1 إلى $500، يبدأ لاعب يتّبع نظام مارتينغالاستراتيجيةمارتينغالتدرّج يضاعف الرهان بعد كل خسارة. انظر قسم الاستراتيجية لمعرفة ما يفعله وما لا يفعله.قراءة النص كاملًا ← برهان $1 على الأحمررهانالأحمررهان الدفع المتساوي على الأرقام الحمراء الـ18. بالفرنسية: rouge.قراءة النص كاملًا ← على عجلة بصفرالعجلةالصفرالخانة الخضراء الوحيدة التي لا يغطيها أي رهان دفع متساوٍ أو دزينة أو عمود؛ ومصدر ميزة الكازينو. يُسمّى أيضًا: الصفر الواحد، 0.قراءة النص كاملًا ← واحد. كم خسارة متتالية توقف المضاعفة، وكم يكون قد خسر عندها، وكم مرة يحدث ذلك؟
إظهار الحل
الإجابة تسع خسائر: خسارة $511، والرهان التالي سيكون $512. ويحدث ذلك مرة واحدة في نحو 403 متتاليات.
مبالغ الرهان هي 1، 2، 4، 8، 16، 32، 64، 128 و256: ومجموعها $511. والعاشر سيكون $512، فوق الحدّ. رهان بمبلغ $500 يربح يترك اللاعب مع ذلك خاسرًا $11؛ ورهان يخسر يتركه خاسرًا $1,011.
يخسر الأحمر باحتمال 19/37، فاحتمال تسع خسائر على التوالي هو (19/37)⁹ ≈ 0.25%، أي مرة واحدة في نحو 403 متتاليات. كل متتالية مكتملة تربح $1، فيتوقع اللاعب نحو $402 من الأرباح الصغيرة قبل خسارة الـ$511 الوحيدة، وتبقى نسبة 2.70% من كل ما يُراهَن به خسارةً في المتوسط.
على عجلة بصفر مزدوج يكون الاحتمال (20/38)⁹، أي مرة واحدة في نحو 323. ويطبع بولمان (2021) «نحو 1 من 833»، وهو (18/38)⁹، أي احتمال تسعة أرباح على التوالي.
استراحة فكاهية
واحد وأربعون ربحًا صغيرًا وخسارة واحدة كبيرة. هذا هو النظام كله.
المصادر
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”