التقارب على المدى الطويل
كيف يستقر المتوسط نحو −2.70%، ولماذا يستغرق ذلك وقتًا أطول مما يوحي به الحدس.
متوسط الخسارة في الدورة يتقارب نحو −1/37 مع تراكم الدورات، بانتشار يتقلص بمعدل 1/√N. بعد 1,000 دورة على الأحمر يكون المتوسط عادةً ضمن ±3% من قيمته المتوقعة.
قانون الأعداد الكبيرة
المتوسط الجاري لرهانات مستقلة يتجه نحو القيمة المتوقعةرياضياتالقيمة المتوقعةمتوسط النتيجة لكل رهان على المدى الطويل. −1/37 من مبلغ الرهان لكل رهان أوروبي قياسي.قراءة النص كاملًا ←. بعد N دورة على الدفع المتساوي برهان وحدةالمالالوحدةمبلغ الرهان الأساسي الذي يعمل به نظام ما أو لاعب ما. تُوصف التدرّجات بالوحدات حتى تنطبق على أي طاولة.قراءة النص كاملًا ← واحدة، تكون القيمة المتوقعة لمتوسط النتيجة في الدورة −1/37 وانحرافه المعياريرياضياتالانحراف المعياريالجذر التربيعي للتباين؛ المسافة المعتادة بين النتيجة والقيمة المتوقعة.قراءة النص كاملًا ← 1/√N. عند N = 100 يبلغ هذا الانتشار 10% من مبلغ الرهان، أي قرابة أربعة أضعاف الإشارة البالغة 2.7%. وعند N = 1,000 يبلغ 3.2%، أي نحو حجم الإشارة نفسه. وعند N = 10,000 يبلغ 1%، وتصبح الميزة واضحة للعيان. الميزة غير مرئية في جلسة، ولا تخطئها العين في عام.
ما يتقارب وما لا يتقارب
المتوسط في الدورة يتقارب. أما المجموع فلا: إنه يبتعد عن الصفر أكثر فأكثر مع نمو N، بنحو 2.7% من N في المتوسط المتوقع، بانتشار قدره √N حول ذلك. اللاعب الذي لعب 10,000 دورة برهان $10 يُتوقع أن يكون خاسرًا $2,700، بزيادة أو نقصان قدرهما $1,000. النسبة الجارية للأحمررهانالأحمررهان الدفع المتساوي على الأرقام الحمراء الـ18. بالفرنسية: rouge.قراءة النص كاملًا ← استقرت منذ زمن قرب 48.65%؛ أما الرصيد الجاري فلم يستقر في أي مكان.
- p10 −$440
- p25 −$280
- الوسيط −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
لماذا يخطئ الحدس
يتوقع الناس أن تظهر الميزة سريعًا لأن 2.70% تبدو نسبة كبيرة، ويتوقعون أن «تتعادل» السلاسل الطويلة لأن قانون الأعداد الكبيرةرياضياتقانون الأعداد الكبيرةمتوسط النتائج المستقلة يتقارب نحو القيمة المتوقعة كلما ازداد عدد التجارب.قراءة النص كاملًا ← يقول إن المتوسطات تتقارب. والحدسان كلاهما يخطئ في تقدير المقياس: الميزة صغيرة مقارنةً بتباينرياضياتالتباينمقياس لمدى انتشار النتائج حول القيمة المتوقعة. مرتفع في رهان الرقم الواحد، ومنخفض في رهانات الدفع المتساوي.قراءة النص كاملًا ← الدورة الواحدة (σ = 1 وحدة مقابل EV = 0.027)، فيلزم (1/0.027)² ≈ 1,400 دورة لتصبح مرئية بمقدار سيغما واحدة. وتقارب المتوسط لا يفعل شيئًا لإعادة المجموع إلى الوراء؛ إنه يخفف التذبذبات الماضية فحسب.
التقارب في الرهانات الأخرى
في رهانات الرقم الواحدرهانرهان الرقم الواحدرقم واحد، ويدفع 35:1.قراءة النص كاملًا ← تبلغ σ = 5.84، فيعطي الحساب نفسه (5.84/0.027)² ≈ 47,000 دورة حتى تبلغ الميزة سيغما واحدة. يمكن لمن يراهن على الرقم الواحد أن يلعب سنوات دون أن تتميز الميزة عن الحظ في سجلاته الخاصة، بينما يدفع النسبة نفسها بالضبط، 2.70%، التي يدفعها من يراهن على الأحمر ويراها خلال أسابيع.
ما يعنيه ذلك لاختبار أنظمة الرهان
كل من يدّعي أن نظامًا ما ينجح ينبغي أن يكون قادرًا على إثبات ذلك على مدى 10,000 دورة أو أكثر بمتوسط موجب موثّق. عند 1,000 دورة يكون المتوسط الموجب على الدفع المتساوي حدثًا يقع مرة من كل خمس في ظل فرضية العدم؛ وعند 100 دورة يكاد يكون رمية قطعة نقود. والمحاكيات في هذا الموقع تشغّل 2,000 جلسة بالطول الذي تختاره في ثانية واحدة، وهذا دليل أكثر من أي شهادة شخصية.
الصيغة
أسئلة
احتمالرياضياتالاحتمالفرصة وقوع نتيجة ما، من 0 إلى 1 أو من 0% إلى 100%. رقم واحد: 1/37 = 2.70%.قراءة النص كاملًا ← أن تعود رابحًا يومًا ما يتناقص نحو الصفر كلما لعبت. والمجموع ينحدر دون حد.
لا. يعني أن التذبذبات الماضية تصبح جزءًا أصغر من عينة أكبر.
في الدفع المتساوي، نحو 10,000 دورة قبل أن تصبح الميزة واضحة للعيان. وفي رهانات الرقم الواحد، نحو 50,000.
متعة الرياضيات
جرّب حلّها بنفسك أولًا. كل حل مطويّ؛ افتحه حين تكون مستعدًا.
صديقان يلعبان 20 جولة من لعبة عادلةرياضياتاللعبة العادلةلعبة لا يملك فيها أي طرف ميزة: القيمة المتوقعة لكل رهان صفر.قراءة النص كاملًا ←، رمي قطعة نقود أو الأحمررهانالأحمررهان الدفع المتساوي على الأرقام الحمراء الـ18. بالفرنسية: rouge.قراءة النص كاملًا ← ضد الأسودرهانالأسودرهان الدفع المتساوي على الأرقام السوداء الـ18. بالفرنسية: noir.قراءة النص كاملًا ← مع إعادة الرهانات عند الأصفارالعجلةالصفرالخانة الخضراء الوحيدة التي لا يغطيها أي رهان دفع متساوٍ أو دزينة أو عمود؛ ومصدر ميزة الكازينو. يُسمّى أيضًا: الصفر الواحد، 0.قراءة النص كاملًا ←، ويسجّلان النتيجة الجارية. عُدّ الجولات التي يكون فيها كلٌّ منهما متقدمًا (التعادل يُحسب لمن كان متقدمًا قبله مباشرة). أيهما أرجح: أن يُقسم التقدم 10 جولات مقابل 10، أم أن يتقدم أحدهما في الجولات الـ20 كلها؟
إظهار الحل
الإجابة تقدّم أحدهما في الجولات الـ20 كلها أرجح بكثير: 35.2%، بحساب أيٍّ من الصديقين، مقابل 6.1% لتقاسم متساوٍ 10 مقابل 10.
احتمال أن تكون النتيجة الجارية في لعبة عادلة متعادلة بعد 2k جولة هو u = C(2k, k)/2²ᵏ: 0.246 بعد 10 جولات و0.176 بعد 20. ونتيجة كلاسيكية، هي قانون قوس الجيب، تقول إن احتمال أن يتقدم صديق بعينه في 2k جولة بالضبط من 2n هو u(2k) × u(2n − 2k).
التقدم في الجولات الـ20 كلها: u(20) × u(0) = 0.176 لكل صديق، و35.2% لأيٍّ منهما. والتقاسم المتساوي: u(10) × u(10) = 0.246² = 6.1%، وهو أقل التقسيمات احتمالًا على الإطلاق.
ففي اللعبة العادلة نادرًا ما ينتقل التقدم من يد إلى يد. واللاعب الذي ظل متقدمًا طوال الأمسية، أو متأخرًا طوالها، لم يرَ شيئًا غير عادي، وهذا لا يقول شيئًا عن العجلة ولا عن المهارة. ويعطي إبستين (2013) القانون نفسه للألعاب الأطول: في نصف الحالات يتقدم الطرف الأوفر حظًا في أكثر من 85% من اللعب.
استراحة فكاهية
المتوسط يتقارب. أما المجموع فيرحل ببساطة.
المصادر
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.