مسألة: عجلة أعياد الميلاد
كم دورة تلزم قبل أن يتكرر رقم ما؟ عدد أقل بكثير مما يخمّنه معظم الناس.
مسألة عيد الميلاد على عجلة من 37 خانةالمعداتالخانةواحدة من الحجرات الـ37 المرقّمة على الدوّار. تُسمّى أيضًا: الفتحة، الكأس.قراءة النص كاملًا ←: بعد 8 دورات فقط يكون احتمال أن رقمًا ما قد ظهر مرتين أعلى من النصف. يقرأ اللاعبون التكرار على أنه نمط؛ وهو السلوك المتوقع لعجلة نزيهة.
المسألة
أدِر عجلة أوروبية نزيهة. كم دورة يلزم حتى يتجاوز احتمالرياضياتالاحتمالفرصة وقوع نتيجة ما، من 0 إلى 1 أو من 0% إلى 100%. رقم واحد: 1/37 = 2.70%.قراءة النص كاملًا ← أن تكون دورتان على الأقل قد أظهرتا الرقم نفسه النصف؟ يخمّن معظم اللاعبين عددًا في حدود 18 أو 19، أي نصف 37. والجواب هو 8.
الحل
احسب احتمال عدم التكرار واطرحه من الواحد. بعد k دورة، p(كلها مختلفة) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). عند k = 8: 1 × 0.973 × 0.946 × 0.919 × 0.892 × 0.865 × 0.838 × 0.811 ≈ 0.44، فيكون p(تكرار ما) ≈ 0.56. وعند k = 14 يبلغ 0.93؛ وعند k = 20 يبلغ 0.996. ويخطئ الحدس لأن عدد أزواج الدورات ينمو بمعدل k²، وأي زوج منها يمكن أن يتطابق.
لماذا يهم ذلك على الطاولة
لوحة نتائج تعرض آخر 20 رقمًا ستُظهر دائمًا تقريبًا تكرارًا واحدًا على الأقل، وكثيرًا ما تُظهر اثنين أو ثلاثة. يرى اللاعبون أن «17 ظهر مرتين في عشر دورات» فيستنتجون أن 17 رقم ساخن؛ أما حساب عيد الميلاد فيقول إن التكرار خلال عشر دورات يحدث في 74% من الحالات وإن الرقم المتكرر عشوائي. النمط حقيقي؛ أما المعنى فلا.
مسألة المتابعة
كم دورة يلزم حتى يظهر رقم بعينه، وليكن 17، مرتين؟ هذا سؤال مختلف جوابه أكبر بكثير: الانتظار المتوقع 74 دورة، واحتمال ظهور 17 مرتين خلال 20 دورة نحو 10%. والفرق بين «رقم ما يتكرر» (8 دورات) و«هذا الرقم يتكرر» (74 دورة) هو كل الفرق بين نمط تلاحظه بعد وقوعه وتنبؤ تطلقه مسبقًا.
جرّبها
شغّل اللعبة التجريبية عشر دورات وانظر إلى السجل. سيكون هناك عادةً تكرار. شغّلها مرة أخرى. سيكون الرقم المتكرر مختلفًا. افعل ذلك عشر مرات وتكون قد رأيت مسألة عيد الميلادرياضياتمسألة عيد الميلادكم شخصًا يلزم حتى يُرجَّح أن يشترك اثنان منهم في يوم الميلاد، أو كم دورة يلزم حتى يُرجَّح أن يتكرر رقم. على عجلة من 37 خانة تكفي 8 دورات ليصبح الاحتمال أكبر من النصف.قراءة النص كاملًا ←؛ وافعله ألف مرة (والمحاكيات قادرة على ذلك) وتكون قد قستها.
الصيغة
أسئلة
تمامًا، مع 37 خانة بدلًا من 365 يومًا. 23 شخصًا يعطون 50% في أعياد الميلاد؛ و8 دورات تعطي 56% في العجلة.
احتمال 50% بعد نحو 19 دورة. ولا يزال أمرًا معتادًا.
لا. آلاف الدورات من عجلة واحدة قد تشير إليه؛ أما التكرار فلا يشير إليه أبدًا.
متعة الرياضيات
جرّب حلّها بنفسك أولًا. كل حل مطويّ؛ افتحه حين تكون مستعدًا.
تعرض لوحة النتائج بجوار عجلة أمريكية آخر 16 دورة. ما احتمال ألّا يظهر أي رقم عليها مرتين؟
إظهار الحل
الإجابة نحو 2.5%: نحو 39 لوحة من كل 40 تعرض تكرارًا واحدًا على الأقل.
تقدّم دورة بعد دورة. الدورة الأولى يمكن أن تكون أي رقم. والثانية يجب أن تخطئه: 37 احتمالًا من 38. والثالثة يجب أن تخطئ الرقمين: 36 من 38. والسادسة عشرة يجب أن تخطئ خمسة عشر رقمًا: 23 من 38.
اضرب: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0.0246.
اللوحة الخالية من التكرار هي النادرة. واللوحة التي فيها تكرار لا تقول شيئًا عن العجلة.
في عشر دورات على عجلة أوروبية، ما احتمال أن يظهر الرقم 17 خمس مرات بالضبط؟ وأن يظهر رقم ما، أي رقم، خمس مرات أو أكثر؟ وأن يظهر رقم ما ثلاث مرات على الأقل في أربع دورات؟
إظهار الحل
الإجابة الرقم 17 خمس مرات بالضبط: 1 من 315,576. رقم ما خمس مرات أو أكثر: نحو 1 من 8,333. رقم ما ثلاث مرات أو أكثر في أربع دورات: 1 من 349.
الرقم 17 خمس مرات: اختر أي خمس من الدورات العشر، 252 طريقة، لكل منها احتمال (1/37)⁵ × (36/37)⁵. ومعًا: 1 من 315,576.
رقم ما: لكل رقم من الأرقام الـ37 احتمال 1 من 308,325 أن يظهر خمس مرات أو أكثر، وهذا يعطي 37 من 308,325، أي 1 من 8,333. والحالة النادرة لرقمين يظهر كل منهما خمس مرات محسوبة مرتين، لكن حذفها لا يغيّر شيئًا بهذه الدقة.
ثلاث مرات في أربع دورات: لرقم واحد، 4 × 36 + 1 = 145 من النتائج الممكنة البالغة 37⁴؛ ولأي رقم من الأرقام الـ37، 145/37³ = 1 من 349.
أجاب موقع Wizard of Odds عن نسخ هذه الأسئلة الخاصة بالعجلة بصفرالعجلةالصفرالخانة الخضراء الوحيدة التي لا يغطيها أي رهان دفع متساوٍ أو دزينة أو عمود؛ ومصدر ميزة الكازينو. يُسمّى أيضًا: الصفر الواحد، 0.قراءة النص كاملًا ← مزدوج؛ وأرقامنا لتلك العجلة هي 1 من 359,275، و1 من 9,243، و1 من 368. والفرق بين «الرقم 17» و«رقم ما» هو مسألة عيد الميلادرياضياتمسألة عيد الميلادكم شخصًا يلزم حتى يُرجَّح أن يشترك اثنان منهم في يوم الميلاد، أو كم دورة يلزم حتى يُرجَّح أن يتكرر رقم. على عجلة من 37 خانة تكفي 8 دورات ليصبح الاحتمال أكبر من النصف.قراءة النص كاملًا ← مرة أخرى: هناك 37 طريقة لتتفاجأ.
استراحة فكاهية
شيء ما يتكرر مبكرًا. وهذا الشيء عشوائي.
المصادر
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”، أسئلة عن الروليت.