احتمال السلاسل
السلاسل الطويلة من لون واحد شائعة. وهي أيضًا بلا أي معنى بالنسبة إلى الدورة التالية.
خمس مرات أحمر على التوالي: 2.7%. عشر: 0.074%. وفي جلسة من 200 دورة تظهر سلسلة من ست مرات للون واحد في أغلب الأحيان.
مدى تكرار سلسلة الخسائر
رهان الدفع المتساوي على عجلة بصفر واحد يخسر في 19 دورة من 37. يبيّن كل صف احتمال أن تخسر سلسلة معيّنة من الدورات كلها، وما خسره حتى ذلك الحين لاعب مارتينغال الذي يضاعف رهانه بعد كل خسارة.
| خسائر متتالية | الاحتمال | نحو 1 من كل | الخسارة حتى الآن | الرهان التالي |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51.4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26.4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13.5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7.0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3.6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1.8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0.94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0.48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0.25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0.13% | 784 | $1,023 | $1,024 |
| 11 | 0.065% | 1527 | $2,047 | $2,048 |
| 12 | 0.034% | 2974 | $4,095 | $4,096 |
| 13 | 0.017% | 5792 | $8,191 | $8,192 |
| 14 | 0.0089% | 11279 | $16,383 | $16,384 |
| 15 | 0.0046% | 21965 | $32,767 | $32,768 |
الاحتمال هو 19/37 مضروبًا في نفسه مرة عن كل خسارة، محسوبًا ابتداءً من دورة واحدة بعينها. وفي الجلسة الطويلة دورات كثيرة يمكن أن تبدأ منها سلسلة كهذه، ولذلك فهي على مدى أمسية أرجح بكثير مما يوحي به صف واحد.
سلسلة واحدة
احتمالرياضياتالاحتمالفرصة وقوع نتيجة ما، من 0 إلى 1 أو من 0% إلى 100%. رقم واحد: 1/37 = 2.70%.قراءة النص كاملًا ← أن تكون الدورات k التالية كلها حمراءرهانالأحمررهان الدفع المتساوي على الأرقام الحمراء الـ18. بالفرنسية: rouge.قراءة النص كاملًا ← هو (18/37)ᵏ. اثنتان: 23.7%. خمس: 2.7%. عشر: 0.074%، أي نحو 1 من 1,350. عشرون: 1 من 1.8 مليون. ست وعشرون، الرقم القياسي في مونت كارلو: 1 من 137 مليونًا. هذه احتمالات سلسلة بعينها تبدأ عند دورة بعينها، وهو سؤال لا يكاد أحد يطرحه في الواقع.
في جلسة
السؤال الذي يقصده الناس هو «هل ستظهر سلسلة من k في موضع ما من جلستي؟»، والجواب أكبر بكثير من (18/37)ᵏ لأن جلسة من 200 دورة تتيح قرابة 200 موضع يمكن أن تبدأ منه السلسلة. سلسلة من ست مرات أو أكثر للون نفسه، أحمر أو أسودرهانالأسودرهان الدفع المتساوي على الأرقام السوداء الـ18. بالفرنسية: noir.قراءة النص كاملًا ←، تظهر في جلسة من 200 دورة في نحو 94% من الحالات؛ وثماني مرات أو أكثر في نحو 47%؛ وعشر مرات أو أكثر في نحو 14%. وإذا حُدّد اللون مسبقًا انخفضت الاحتمالات إلى نحو 75% و27% و7%. واللاعب الذي يجلس إلى الطاولة أمسية كاملة سيرى سلاسل طويلة في كل أمسية.
لماذا يهم ذلك نظام مارتينغال
لكل تدرّجاستراتيجيةالتدرّجأي قاعدة تغيّر مبلغ الرهان بناءً على النتائج السابقة. التدرّجات السلبية ترفعه بعد الخسارة، والإيجابية بعد الربح.قراءة النص كاملًا ← سلبي طول سلسلة يكسره: ست خسائر انطلاقًا من رهان أساسي قدره $10 عند حدّ $500، وعشر في نظام فيبوناتشياستراتيجيةفيبوناتشيتدرّج يتبع المتتالية 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13…: خطوة إلى الأمام بعد الخسارة، وخطوتان إلى الوراء بعد الربح.قراءة النص كاملًا ←، وخمس عند مضاعفة الرهان ثلاث مرات على الدزيناترهانالدزينة1–12 أو 13–24 أو 25–36، ويدفع 2:1.قراءة النص كاملًا ←. واحتمال سلسلة من ست خسائر على الدفع المتساوي هو (19/37)⁶ ≈ 1.8% في كل محاولة، وجلسة من 200 دورة تضم ربما 100 محاولة، فيأتي الانكسار في نحو أربع جلسات من كل خمس بهذا الطول. احتمالات السلاسل هي السبب في أن الهاوية ليست نادرة.
الأرقام الساخنة والباردة
الحساب نفسه ينطبق على رهانات الرقم الواحدرهانرهان الرقم الواحدرقم واحد، ويدفع 35:1.قراءة النص كاملًا ←. في 300 دورة يكون العدد المتوقع لظهور كل رقم 8.1؛ والانحراف المعياريرياضياتالانحراف المعياريالجذر التربيعي للتباين؛ المسافة المعتادة بين النتيجة والقيمة المتوقعة.قراءة النص كاملًا ← نحو 2.8. سيظهر رقم ما 15 مرة ورقم آخر مرتين (2) بالمصادفة وحدها، في كل مرة. ولوحة النتائج التي تبرز الأرقام «الساخنة» إنما تبرز قمة توزيع طبيعي. ويشرح المختبر كم دورة يلزم قبل أن يعني الرقم الساخنخرافةالرقم الساخنرقم ظهر مؤخرًا أكثر مما يُتوقع. وعلى عجلة نزيهة لا يتنبأ بشيء.قراءة النص كاملًا ← أي شيء (الآلاف، من عجلة واحدة محددة).
الاستقلال هو جوهر المسألة
سلسلة من عشر مرات أحمر لا تجعل الأسود أكثر احتمالًا، ولا تجعل الأحمر أكثر احتمالًا أيضًا. كلاهما 18/37. السلاسل خاصية من خصائص المتتاليات العشوائية، وغيابها هو المريب: متتالية من 200 دورة لا توجد فيها سلسلة أطول من أربع مرات ستكون دليلًا على التلاعب أقوى بكثير من متتالية فيها سلسلة من اثنتي عشرة مرة.
الصيغة
أسئلة
أشهرها 26 مرة أسود في مونت كارلو في 18 أغسطس 1913. وأُفيد عن 32 مرة أحمر على التوالي في كازينو أمريكي عام 1943. وكلتاهما متسقة مع المصادفة بالنظر إلى عدد الدورات التي تديرها الكازينوهات.
الاحتمال 18/37 في الحالتين. راهن بما تقوله خطتك، أو لا تراهن على الإطلاق.
لا. الانحياز يظهر في صورة خاناتالمعداتالخانةواحدة من الحجرات الـ37 المرقّمة على الدوّار. تُسمّى أيضًا: الفتحة، الكأس.قراءة النص كاملًا ← تصيب أكثر من غيرها على مدى آلاف الدورات، لا في صورة سلاسل من لون واحد.
متعة الرياضيات
جرّب حلّها بنفسك أولًا. كل حل مطويّ؛ افتحه حين تكون مستعدًا.
كم دورة لعجلة أوروبية يلزم في المتوسط حتى يظهر كل رقم من الأرقام الـ37 مرة واحدة على الأقل؟
إظهار الحل
الإجابة نحو 155 دورة في المتوسط؛ والوسيط 147.
احسب الانتظار رقمًا جديدًا تلو الآخر. الدورة الأولى تُظهر دائمًا رقمًا جديدًا. وبعد أن ترى 1 رقم، تكون 36 خانةالمعداتالخانةواحدة من الحجرات الـ37 المرقّمة على الدوّار. تُسمّى أيضًا: الفتحة، الكأس.قراءة النص كاملًا ← من 37 جديدة، فيستغرق الرقم الجديد التالي 37/36 دورة في المتوسط. وبعد أن ترى k رقمًا، يستغرق 37/(37 − k).
اجمع فترات الانتظار: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4.20 = 155.5 دورة.
معظم ذلك في النهاية. فالرقم الأخير وحده يستغرق 37 دورة في المتوسط، والأرقام الخمسة الأخيرة نحو 85. وعلى عجلة أمريكية يعطي الحساب نفسه نحو 161. هذه هي «مسألة جامع القسائم»؛ ويعطي Wizard of Odds المتوسط نفسه.
في 37 دورة لعجلة أوروبية، دورة لكل خانة، كم رقمًا مختلفًا تتوقع أن ترى؟
إظهار الحل
الإجابة نحو 23.6. ونحو ثلث الأرقام، أي قرابة 13، لا يظهر إطلاقًا.
خذ رقمًا واحدًا، وليكن 17. في كل دورة لا يظهر باحتمال 36/37، فيغيب عن الدورات الـ37 كلها باحتمال (36/37)³⁷ ≈ 0.363.
لكل رقم الاحتمال نفسه، ففي المتوسط يغيب 37 × 0.363 ≈ 13.4 رقمًا ويظهر 37 − 13.4 ≈ 23.6، كثير منها مرتين أو أكثر.
يسمّي لاعبو الروليت هذا «قانون الأثلاث». وما هو بقانون، بل مجرد حساب للتكرارات: في سلسلة بطول العجلة، يغيب نحو ثلث الأرقام، على العجلة النزيهة كما على أي عجلة أخرى. وعلى 38 خانة تكون النسبة (37/38)³⁸ ≈ 0.363 أيضًا؛ وعلى عجلة كبيرة تستقر قرب 1/e ≈ 0.368.
يريك صديق قائمتين من 50 لونًا، أحمررهانالأحمررهان الدفع المتساوي على الأرقام الحمراء الـ18. بالفرنسية: rouge.قراءة النص كاملًا ← أو أسودرهانالأسودرهان الدفع المتساوي على الأرقام السوداء الـ18. بالفرنسية: noir.قراءة النص كاملًا ←، يُقال إن كلًّا منهما جاءت من عجلة مع استبعاد الأصفارالعجلةالصفرالخانة الخضراء الوحيدة التي لا يغطيها أي رهان دفع متساوٍ أو دزينة أو عمود؛ ومصدر ميزة الكازينو. يُسمّى أيضًا: الصفر الواحد، 0.قراءة النص كاملًا ←. الأولى يتبدّل فيها اللون 25 مرة وأطول سلسلة فيها ست مرات. والثانية يتبدّل فيها 35 مرة ولا تتجاوز سلسلة فيها ثلاث مرات. أيهما مختلقة؟
إظهار الحل
الإجابة الثانية. فالقائمة الحقيقية يتبدّل فيها اللون نحو 24 أو 25 مرة. والقائمة التي فيها 35 تبدّلًا تظهر نحو مرة من كل 500 قائمة، والتي لا تتجاوز فيها أي سلسلة ثلاث مرات نحو مرتين من كل 100.
كل لون جديد إما يكرّر السابق وإما يتبدّل، مناصفةً، فتعطي 49 فرصة للتبدّل 24.5 تبدّلًا في المتوسط، بزيادة أو نقصان نحو 3.5. وخمسة وثلاثون تزيد على المتوسط بثلاث من هذه الخطوات؛ والعجلة النزيهة تُنتج هذا العدد من التبدّلات نحو مرة من كل 500 قائمة.
والسلاسل تروي القصة نفسها. فالقائمة الحقيقية من 50 لونًا فيها سلسلة من أربع مرات أو أكثر في نحو 98% من الحالات، وأطول سلسلة فيها في الغالب خمس أو ست مرات.
الناس الذين يُطلب منهم اختراع قائمة عشوائية يكثرون من التبديل، لأن سلسلة من أربع أو خمس مرات تبدو لهم نمطًا. ويبيّن تايلور (2021) العلامة نفسها في قوائم رمي قطع نقود اختلقها طلاب: العشوائية الحقيقية أكثر تسلسلًا مما يتوقع الناس.
يروي كتاب من حكايات الكازينوهات قصة لاعب ظهر رقمه خمس مرات متتالية، ويعدّ ذلك رقمًا قياسيًا. ما مدى ندرة ذلك على عجلة أوروبية؟ وكم مرة ينبغي أن يحدث في مكان ما من كازينو واحد فيه 20 طاولة، تدور كل منها 40 مرة في الساعة، ليلًا ونهارًا؟
إظهار الحل
الإجابة رقم محدد مسبقًا خمس مرات متتالية: 1 من 69 مليونًا. وأي رقم يظهر أربع مرات أخرى بعد ظهوره الأول: 1 من 1.87 مليون. وهذا الكازينو يجري نحو 7 ملايين دورة في السنة، فينبغي أن يشهد سلسلة من خمس ثلاث مرات أو أربعًا في السنة.
يظهر الرقم المحدد باحتمال 1/37 في كل دورة، فاحتمال ظهوره خمس مرات متتالية هو (1/37)⁵ = 1 من 69,343,957. لكن أحدًا لا يسمّي الرقم مسبقًا. فأيًّا كان ما يظهر أولًا، يجب أن تكرره الدورات الأربع التالية: (1/37)⁴ = 1 من 1,874,161.
20 طاولة × 40 دورة × 24 ساعة × 365 يوم = 7,008,000 دورة في السنة. ويمكن لكل دورة أن تبدأ سلسلة، فيتوقع الكازينو 7,008,000/1,874,161 ≈ 3.7 سلسلة من خمس في السنة.
لا يوجد سجل رسمي من هذا النوع، ولا حاجة إليه: الحدث النادر على طاولة واحدة حدث عادي على مستوى كازينو كامل، والقصص تُروى عن الطاولة التي وقع فيها. والقصة، عند غولدمان (2007)، تجري على عجلة بصفر مزدوج، حيث الأرقام 1 من 79 مليونًا و1 من 2.09 مليون.
استراحة فكاهية
السلاسل الطويلة هي الشكل الذي تبدو عليه العشوائية.
المصادر
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.