خطر الإفلاس
احتمال خسارة رأس مال اللعب كله قبل بلوغ الهدف.
في رهانات الدفع المتساوي يتبع خطر الإفلاس صيغة إفلاس المقامر. برأس مال قدره $500، ورهانات بمبلغ $10، وهدف قدره $600، تبلغ الهدف في نحو 57% من الحالات وتفلس في الباقي.
السؤال
لديك a من الوحداتالمالالوحدةمبلغ الرهان الأساسي الذي يعمل به نظام ما أو لاعب ما. تُوصف التدرّجات بالوحدات حتى تنطبق على أي طاولة.قراءة النص كاملًا ← من رأس مال اللعبالمالرأس مال اللعبالمبلغ الإجمالي المخصّص للعب. وإدارة رأس المال هي تحديد الجزء الذي يُخاطَر به في كل رهان وفي كل جلسة.قراءة النص كاملًا ← وتريد أن تبلغ a + b وحدة، وأنت تراهن بوحدة واحدة في كل مرة على رهان الدفع المتساويرهانرهان الدفع المتساويأحمر/أسود، فردي/زوجي، عالٍ/منخفض. 18 رقمًا، ويدفع 1:1.قراءة النص كاملًا ← باحتمالرياضياتالاحتمالفرصة وقوع نتيجة ما، من 0 إلى 1 أو من 0% إلى 100%. رقم واحد: 1/37 = 2.70%.قراءة النص كاملًا ← ربح p = 18/37 واحتمال خسارة q = 19/37. ما احتمال أن تبلغ الهدف قبل أن تصل إلى الصفر؟ توصّل إلى الجواب باسكال وفيرما وهويغنز في خمسينيات القرن الـ17، وهو من أقدم النتائج في علم الاحتمالات.
صيغة إفلاس المقامر
P(بلوغ الهدف) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). وخطر الإفلاسرياضياتخطر الإفلاساحتمال خسارة رأس مال اللعب كله قبل بلوغ هدف أو عدد معيّن من الدورات.قراءة النص كاملًا ← هو واحد ناقص ذلك. ومع q/p = 19/18 ≈ 1.0556 تنمو النسبة نموًا أُسّيًا مع عدد الوحدات، ولذلك تعاقب الصيغة الوحدات الصغيرة بقسوة: كلما احتاج بلوغ الهدف إلى رهانات أكثر، زاد عدد المرات التي تُدفع فيها ضريبة الـ2.70% على الطريق.
قراءة النتائج
الوحدات الأصغر تضر. محاولة مضاعفة $500 برهانات قدرها $10 تنجح في 6% من الحالات؛ وبرهان واحد قدره $500 تنجح في 48.6% من الحالات. اللعب الجريء، أي رهانات أقل عددًا وأكبر مبلغًا، يرفع إلى الحد الأقصى احتمال بلوغ الهدف في لعبة قيمتها المتوقعة سالبة، لأنه يقلل إلى الحد الأدنى عدد المرات التي تُطبَّق فيها الميزة. لكنه أيضًا يرفع إلى الحد الأقصى تباينرياضياتالتباينمقياس لمدى انتشار النتائج حول القيمة المتوقعة. مرتفع في رهان الرقم الواحد، ومنخفض في رهانات الدفع المتساوي.قراءة النص كاملًا ← ما يحدث لك، وينهي الأمسية بسرعة. وتُعرف هذه المبرهنة باسم «اللعب الجريء هو الأمثل»، وقد برهنها دوبينز وسافيدج عام 1965.
من أين بدأت المسألة
السؤال أقدم من الروليت. ففي عام 1656 طرح باسكال على فيرما لغزًا: لاعبان يرميان ثلاثة أحجار نرد، ويبدأ كل منهما بـ12 قطعة عدّ؛ رمية مجموعها 11 تنقل قطعة في اتجاه، ورمية مجموعها 14 تنقلها في الاتجاه الآخر. حلّها كلاهما، وهويغنز، الذي سمع بها من رسالة من عالم الرياضيات بيير دو كاركافي (Pierre de Carcavi)، نشرها عام 1657 بوصفها المسألة الخامسة في أول كتاب عن الاحتمالات، مع الجواب ومن دون برهان. يمكن الحصول على أحد عشر بـ27 طريقة وعلى أربعة عشر بـ15 طريقة فقط، فتتحرك كل قطعة في اتجاه اللاعب الأول 9 مرات من 14، والصيغة أعلاه، مع 12 قطعة لكل منهما، تجعل احتمال فوزه بكل شيء نحو 1,157 ضعف احتمال خسارته كل شيء. وميزة 2.70% أصغر بكثير، لكن الصيغة نفسها تبيّن ما تفعله على مدى رهانات كثيرة.
رهان جريء حقيقي
في أبريل 2004 باع آشلي ريفيل (Ashley Revell)، وهو شاب إنجليزي، كل ما يملكه تقريبًا، حتى ملابسه، وحمل $135,300 إلى كازينو Plaza في لاس فيغاس. وبعد بضعة رهانات صغيرة وضع المبلغ كله على الأحمررهانالأحمررهان الدفع المتساوي على الأرقام الحمراء الـ18. بالفرنسية: rouge.قراءة النص كاملًا ←، مرة واحدة. فاستقرت الكرةالمعداتالكرةالكرة الصغيرة التي تُطلق في المسار عكس اتجاه الدوّار. الكرات الحديثة من الإيفورين أو التفلون، قطرها 18–21 مم.قراءة النص كاملًا ← على الرقم 7 الأحمر، وخرج ومعه $270,600. على عجلة ذات صفرالعجلةالصفرالخانة الخضراء الوحيدة التي لا يغطيها أي رهان دفع متساوٍ أو دزينة أو عمود؛ ومصدر ميزة الكازينو. يُسمّى أيضًا: الصفر الواحد، 0.قراءة النص كاملًا ← مزدوج كان احتمال تلك الدورة الواحدة 47.37%، وكلّفته في المتوسط $7,121، أي ميزة الـ5.26% على رهان واحد. ولو وُزّع الهدف نفسه على رهانات من $10 لكان شبه ميؤوس منه. اللعب الجريء لا يجعل الرهان جيدًا؛ بل يجعله أقصر ما يمكن.
خطر الإفلاس دون هدف
إذا كنت تلعب ببساطة حتى تفلس أو تتوقف بعد N دورة، يصبح السؤال «ما احتمال أن يصل رأس مالي إلى الصفر خلال N دورة؟». لا توجد صيغة مغلقة لأي N عامة، لكن المحاكيات في هذا الموقع تحسبه: رأس مال قدره $500 برهانات قدرها $10 على الأحمر لا يكاد يفلس أبدًا في 100 دورة (أقل من 1%)، ويفلس في نحو 9% من الحالات في 500 دورة، وفي نحو 95% من الحالات في 5,000 دورة. ودون قاعدة للتوقف يتجه الاحتمال نحو 100%، وهذه هي صورة ميزة الكازينورياضياتميزة الكازينوالحصة من كل مبلغ رهان التي يحتفظ بها الكازينو في المتوسط: 2.70% في الروليت الأوروبي.قراءة النص كاملًا ← على المدى الطويل.
- p10 −$500
- p25 −$500
- الوسيط −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
كم يدوم رأس المال، وإلى أي حدّ يتقدّم
نتيجتان كلاسيكيتان أخريان تجيبان عن أسئلة يطرحها اللاعبون فعلًا. من دون هدف، تدوم رهانات الدفع المتساوي الثابتة في المتوسط 37 دورة لكل وحدة من رأس مال اللعب على العجلة الأوروبية و19 على الأمريكية، لأن كل دورة تأخذ 1/37 من الوحدة في المتوسط (1/19 على العجلة الأمريكية): 100 وحدة تدوم 3,700 دورة في المتوسط، مع أن نصف هذه الجلسات ينتهي خلال 3,134 دورة (انظر مدة الجلسة وكلفتها). ومهما كبر رأس المال، فاحتمال أن تتقدّم يومًا ما بمقدار k وحدة على العجلة الأوروبية هو (18/19)ᵏ. أي 95% لوحدة واحدة و58% لعشر وحدات، لكن لا رأس مال، مهما كان كبيرًا، يمنح فرصة متساوية لأن تتقدّم يومًا بمقدار 13 وحدة؛ وعلى العجلة الأمريكية يكون الاحتمال (9/10)ᵏ وينخفض إلى ما دون النصف عند 7 وحدات.
رأس المال اللازم لاحتمال النصف
اقلب السؤال: كم يجب أن تحمل معك ليكون لديك احتمال لا يقل عن النصف لربح مبلغ معيّن قبل أن تخسر كل شيء؟ لربح صغير، لا تحتاج إلى الكثير. أما لربح أكبر فيرتفع رأس المال اللازم بسرعة، وبعد حدّ معيّن لا يكفي أي رأس مال، لأن حتى رأس المال الذي لا ينفد يعطي احتمالًا أقل من النصف لأن تتقدّم يومًا بهذا القدر. ويقول تايلور (2021) ذلك بطريقة أخرى: على العجلة الأمريكية، لكي يكون لديك احتمال النصف لبلوغ 100 وحدة يجب أن تبدأ بـ94، فتخاطر بـ94 لتربح 6. وعلى العجلة الأوروبية ستحتاج إلى 88.
الدرس العملي
حدّد ما تحاول فعله. إذا كان الهدف ربحًا محددًا، فرهانات كبيرة وقليلة. وإذا كان الهدف أمسية طويلة، فرهانات صغيرة مع قبول أن الميزة ستأخذ نسبة 2.70% من إجمالي مراهناتالمالإجمالي المراهناتإجمالي المبلغ المُراهَن به خلال جلسة أو فترة، بما في ذلك الأرباح التي أُعيدت المراهنة بها. يُسمّى أيضًا: handle، action.قراءة النص كاملًا ← كبير. وإذا كان الهدف كليهما، فلا بد من التنازل عن شيء، وعادةً ما يكون الهدف.
الصيغة
أسئلة
نظام مارتينغالاستراتيجيةمارتينغالتدرّج يضاعف الرهان بعد كل خسارة. انظر قسم الاستراتيجية لمعرفة ما يفعله وما لا يفعله.قراءة النص كاملًا ← يخفضه في الجلسات القصيرة ويرفعه رفعًا حادًا في الطويلة. والرهان الثابتاستراتيجيةالرهان الثابتالمراهنة بالمبلغ نفسه في كل دورة. هو خط الأساس الذي يُقارن به كل تدرّج.قراءة النص كاملًا ← بوحدة أكبر هو الطريقة الصادقة لخفضه.
الصيغة أعلاه للدفع المتساوي. في الرهانات عالية التباين يكون الإفلاس أكثر احتمالًا بمبالغ الرهان الصغيرة، ويُبلغ الهدف بطريقة أكثر تقطعًا؛ استخدم الحاسبة.
كل خطوة نحو الهدف أقل احتمالًا بقليل من كل خطوة نحو الإفلاس؛ وتتراكم النسبة على عدد الخطوات.
متعة الرياضيات
جرّب حلّها بنفسك أولًا. كل حل مطويّ؛ افتحه حين تكون مستعدًا.
معك $100 وتريد $1,000، بالرهان على الأحمررهانالأحمررهان الدفع المتساوي على الأرقام الحمراء الـ18. بالفرنسية: rouge.قراءة النص كاملًا ← فقط. الخطة الأولى: تراهن بـ$1 في كل مرة. الخطة الثانية: تراهن بكل ما معك حتى تتجاوز $500، ثم بما يكفي فقط لبلوغ $1,000. أي الخطتين أفضل، وبكم؟
إظهار الحل
الإجابة الخطة الثانية، وبفارق كبير. فهي تبلغ $1,000 في نحو 9.0% من المرات، قريبًا من نسبة الـ10% العادلة. أما الخطة الأولى فتنجح نحو 7 مرات من 10²².
في لعبة عادلةرياضياتاللعبة العادلةلعبة لا يملك فيها أي طرف ميزة: القيمة المتوقعة لكل رهان صفر.قراءة النص كاملًا ← ستبلغ $1,000 انطلاقًا من $100 مرة من كل عشر مرات أيًّا كان ما تفعله، لأن متوسط قيمة مالك يبقى $100.
ميزة الكازينو تأخذ 2.70% من كل رهان، فكلما قلّ ما تراهن به إجمالًا بقيت أقرب إلى مرة من كل عشر. والخطة الثانية تحسم الأمر في بضعة رهانات: $100 تصبح $200 ثم $400 ثم $800، وبعدها يكفي رهان $200. فتنجح في نحو 9.0% من المرات. أما الخطة الأولى فتستغرق آلاف الرهانات قبل أن ينتهي المسار، والميزة، الصغيرة في كل رهان، تتراكم حتى يصبح الإفلاس شبه مؤكد.
هذه نتيجة دوبنز وسافيج في أبسط صورها (إبستين، 2013): في لعبة تميل لصالح الكازينو، راهِن بقدر ما تحتاج، بأقل عدد ممكن من المرات.
معك $500 وتريد $1,000، وتتوقف بمجرد أن تبلغها. تختار نوعًا واحدًا من الرهانات وتكرره حتى يربح مرة واحدة أو ينفد المال. أي نوع يعطي أفضل احتمال؟
إظهار الحل
الإجابة رهان واحد بـ$500 على الأحمر: 48.6%. وكل خطة توزّع المال على رهانات أصغر تكون أسوأ.
اختر كل مبلغ رهان بحيث يكفي ربح واحد: $30 على رهان الرقم الواحدرهانرهان الرقم الواحدرقم واحد، ويدفع 35:1.قراءة النص كاملًا ← تربح $1,050، و$60 على رهان الرقمينرهانرهان الرقمينرقمان متجاوران، ويدفع 17:1.قراءة النص كاملًا ← تربح $1,020، وهكذا. ثم احسب احتمال أن يربح رهان واحد على الأقل قبل أن ينفد المال. ستة عشر رهانًا على الرقم الواحد بـ$30 تخطئ كلها باحتمال (36/37)¹⁶ = 64.5%، فتبلغ $1,000 في 35.5% من المرات.
يبيّن الجدول كل رهان. الأحمر هو الأفضل لأنه يصل في رهان واحد، فتُدفع الميزة مرة واحدة، على $500. ويأتي رهان الصفينرهانرهان الصفينستة أرقام في صفين متجاورين، ويدفع 5:1. بالفرنسية: sixain.قراءة النص كاملًا ← ثانيًا لأنه لا يحتاج إلا إلى ثلاثة رهانات. ورهان الدزينةرهانالدزينة1–12 أو 13–24 أو 25–36، ويدفع 2:1.قراءة النص كاملًا ← الواحد هو الأسوأ، فرصته 12/37؛ وحتى إذا لُعب بـوحداتالمالالوحدةمبلغ الرهان الأساسي الذي يعمل به نظام ما أو لاعب ما. تُوصف التدرّجات بالوحدات حتى تنطبق على أي طاولة.قراءة النص كاملًا ← قدرها $250 حتى تبلغ $1,000 أو أكثر، لا تصل الدزينة إلا في 46.4% من المرات.
ويبني بولمان (2024) الجدول نفسه للعجلة الأمريكية. وفي صف الدزينة عنده خطأ: يجب أن يكون 12/38 = 31.6%.
رهانمبلغ الرهان × عدد الرهاناتاحتمال بلوغ $1,000رهان الرقم الواحد$30 × 1635.5%رهان الرقمين$60 × 835.9%رهان الصف$90 × 534.5%رهان الزاوية$125 × 436.7%رهان الصفين$166, $166, $16841.2%الدزينة$500 × 132.4%أحمر$500 × 148.6%تراهن بوحدة واحدة على الأحمر، دورة بعد دورة، مع رأس مالالمالرأس مال اللعبالمبلغ الإجمالي المخصّص للعب. وإدارة رأس المال هي تحديد الجزء الذي يُخاطَر به في كل رهان وفي كل جلسة.قراءة النص كاملًا ← لا ينفد أبدًا. بعد الدورة الأولى تكون متقدّمًا بوحدة أو متأخرًا بوحدة. ما احتمال أن تعود يومًا إلى التعادل بالضبط؟
إظهار الحل
الإجابة 36 من 37، أي 97.3%. وعلى العجلة الأمريكية 36 من 38، أي 94.7%.
إذا ربحت الدورة الأولى (18 مرة من 37) فأنت متقدّم بوحدة، والميزة تجرّ كل جلسة لا نهاية لها إلى الأسفل، فستمرّ عاجلًا أو آجلًا بنقطة التعادل من جديد: هذا مؤكد. وإذا خسرت (19 مرة من 37)، فعليك أن تصعد وحدة واحدة، واحتمال أن تتقدّم يومًا بوحدة واحدة هو 18/19 (انظر الجدول أعلاه).
معًا: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
وعمومًا يساوي الاحتمال 1 ناقص الفرق بين احتمالَي ربح الدورة وخسارتها: 1 − 1/37 على العجلة الأوروبية، و1 − 2/38 على الأمريكية. وفي لعبة بلا صفرالعجلةالصفرالخانة الخضراء الوحيدة التي لا يغطيها أي رهان دفع متساوٍ أو دزينة أو عمود؛ ومصدر ميزة الكازينو. يُسمّى أيضًا: الصفر الواحد، 0.قراءة النص كاملًا ← يكون الفرق معدومًا والاحتمال 1: الحصيلة تعود دائمًا إلى التعادل. ويعطي إبستين (2013) القاعدة العامة.
لغز باسكال عام 1656: لاعبان يرميان ثلاثة أحجار نرد، ويبدأ كل منهما بـ12 قطعة عدّ. كل 11 تنقل قطعة إلى اللاعب الأول، وكل 14 تنقل قطعة إلى الثاني؛ ولا تُحسب الرميات الأخرى. ما احتمال أن يفوز اللاعب الأول بالقطع الـ24 كلها؟ ولو وضعت بدلًا من ذلك 1 وحدة على الأحمر في كل دورة أمام صديق يقوم بدور البنك، ولكل منكما 12 وحدة، فما احتمال أن تفوز بالوحدات الـ24 كلها؟
إظهار الحل
الإجابة يفوز اللاعب الأول نحو 1,157 مرة من 1,158. أما أنت، على الأحمر، فتفوز بالوحدات الـ24 كلها في نحو 34% من الحالات فقط.
ثلاثة أحجار نرد تعطي 11 بـ27 طريقة و14 بـ15 طريقة، فكل قطعة تتحرك تذهب إلى اللاعب الأول 27 مرة من 42، أي 9 مرات من 14. وحين يبدأ كل طرف بـ12، يكون احتمال أخذ كل شيء 1/(1 + r¹²)، حيث r نسبة احتمال الطرف الآخر إلى احتمالك.
للاعب الأول r = 5/9، و(5/9)¹² ≈ 0.00086، فالاحتمال نحو 0.99914: أي نسبة 9¹² إلى 5¹²، أو 282,429,536,481 إلى 244,140,625، نحو 1,157 مقابل 1. وقد نشر هويغنز هذه الأعداد بالضبط عام 1657.
على الأحمر r = 19/18 بسبب الصفر، و(19/18)¹² ≈ 1.913: فاحتمالك 1/2.913 ≈ 34.3%. والعملة كانت ستعطي 50%. وميزة الـ2.70% في كل رهان تتراكم، على مدى الرهانات الكثيرة اللازمة، لتصير فجوة قدرها 16 نقطة.
استراحة فكاهية
اللعب الجريء هو الأمثل. وهو أيضًا ينتهي سريعًا.
المصادر
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Letter to Huygens, 28 September 1656, on the problem Pascal posed to Fermat.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”