الانحراف المعياري
الجذر التربيعي للتباينرياضياتالتباينمقياس لمدى انتشار النتائج حول القيمة المتوقعة. مرتفع في رهان الرقم الواحد، ومنخفض في رهانات الدفع المتساوي.قراءة النص كاملًا ←: المسافة المعتادة بين النتيجة وقيمتها المتوقعة.
لكل $1 من مبلغ الرهان تبلغ σ قيمة 5.84 لرهان الرقم الواحد و1.00 للأحمر. ولحسابها لجلسة، اضربها في مبلغ الرهان وفي الجذر التربيعي لعدد الدورات.
قاعدة تقريبية
نحو ثلثي الجلسات تقع نتائجها ضمن σ واحدة من القيمة المتوقعة، و95% ضمن اثنتين. في 100 دورة على الأحمررهانالأحمررهان الدفع المتساوي على الأرقام الحمراء الـ18. بالفرنسية: rouge.قراءة النص كاملًا ← بمبلغ $10 (المتوقع −$27، σ = $100) تقع معظم الجلسات بين −$127 و+$73، وكلها تقريبًا بين −$227 و+$173. والنتيجة خارج هذا النطاق ليست دليلًا على شيء سوى أن جلسة واحدة من كل عشرين تفعل ذلك.
لماذا √N
الخسارة المتوقعةرياضياتالخسارة المتوقعةالقيمة المتوقعة مضروبة في إجمالي المبلغ المُراهَن به؛ أي متوسط المبلغ الذي يُخسر على مدى جلسة أو فترة.قراءة النص كاملًا ← تنمو بالتناسب مع N؛ والانتشار ينمو بالتناسب مع √N. عندما تكون N صغيرة يطغى الانتشار، فتكون الجلسات أشبه برمي قطعة نقود مع ميل طفيف. وعندما تكون N كبيرة تتجاوز الخسارة الانتشار. ونقطة التقاطع، حيث تساوي الخسارة المتوقعة انحرافًا معياريًارياضياتالانحراف المعياريالجذر التربيعي للتباين؛ المسافة المعتادة بين النتيجة والقيمة المتوقعة.قراءة النص كاملًا ← واحدًا، هي N = (σ/الميزة)² = (1/0.027)² ≈ 1,370 دورة للدفع المتساوي و(5.84/0.027)² ≈ 46,800 لرهانات الرقم الواحدرهانرهان الرقم الواحدرقم واحد، ويدفع 35:1.قراءة النص كاملًا ←. دون هذه الأعداد يقرر الحظ؛ وفوقها تقرر الميزة.
كيف تُستخدم
للحكم على ما إذا كانت جلسة ما غير عادية، احسب (النتيجة − EV)/σ. من يراهن بمبلغ $10 على الأحمر وينهي 100 دورة عند +$150 يكون عند (150 + 27)/100 = 1.77σ، وهي نتيجة تحدث مرة واحدة من كل 25: حظ، لا أمر لافت. ومن يراهن على الرقم الواحد وينتهي عند +$150 نفسها يكون عند 0.3σ: ليلة عادية. النتيجة نفسها بالدولار تعني أشياء مختلفة في رهانات مختلفة.
الخطأ المعياري لنسبة
الحساب نفسه يخبرك كم دورة يلزم لترى الميزة في البيانات. الخطأ المعياري لنسبة الربح المرصودة هو √(p(1 − p)/N). للأحمر مع N = 1,000: √(0.4865 × 0.5135 / 1000) ≈ 1.6%. والفرق بين قطعة نقود نزيهة والأحمر هو 1.35%، فبعد 1,000 دورة لا يمكنك بعد التمييز بينهما بثقة. وبعد 10,000 دورة يصبح الخطأ المعياري 0.5% ويمكنك ذلك. ولهذا أيضًا يحتاج كشف انحياز العجلة إلى عدد كبير جدًا من الدورات.
تحذير بشأن الالتواء
نتائج رهان الرقم الواحد بعيدة عن التوزيع الطبيعي في الجلسة القصيرة: معظم الجلسات انحدار ثابت قدره −$10 في كل دورة تتخلله قفزات عرضية بمقدار +$350. قاعدة ±1σ تصف الانتشار وصفًا صحيحًا لكنها تصف الشكل وصفًا رديئًا حتى تبلغ N المئات. أما رهانات الدفع المتساويرهانرهان الدفع المتساويأحمر/أسود، فردي/زوجي، عالٍ/منخفض. 18 رقمًا، ويدفع 1:1.قراءة النص كاملًا ← فالتقريب الطبيعي فيها جيد ابتداءً من نحو 30 دورة.
الصيغة
أسئلة
إنها دليل على أنك لعبت نحو 40 جلسة، أو أنك كنت في الجلسة المحظوظة الواحدة من أربعين. كرّرها.
إنه يتأرجح أقل فأقل: الخطأ المعياري للمتوسط هو σ/√N. وعند N = 10,000 يبلغ 1% من مبلغ الرهان.
متعة الرياضيات
جرّب حلّها بنفسك أولًا. كل حل مطويّ؛ افتحه حين تكون مستعدًا.
على مدى 100 دورة على عجلة أوروبية، تكون وحدةالمالالوحدةمبلغ الرهان الأساسي الذي يعمل به نظام ما أو لاعب ما. تُوصف التدرّجات بالوحدات حتى تنطبق على أي طاولة.قراءة النص كاملًا ← واحدة على الأحمررهانالأحمررهان الدفع المتساوي على الأرقام الحمراء الـ18. بالفرنسية: rouge.قراءة النص كاملًا ← رابحة إذا حققت 51 ربحًا على الأقل، وتكون وحدة واحدة على رهان الرقم الواحدرهانرهان الرقم الواحدرقم واحد، ويدفع 35:1.قراءة النص كاملًا ← رابحة إذا ظهر رقمها 3 مرات على الأقل. استعمل منحنى الجرس لتقدير الاحتمالين، ثم قارنهما بالإجابتين الدقيقتين.
إظهار الحل
الإجابة الأحمر: يعطي منحنى الجرس 35.6% والإجابة الدقيقة 35.5%. رهان الرقم الواحد: يعطي منحنى الجرس 55.0% والإجابة الدقيقة 50.9%. الطريقة المختصرة تصلح للأحمر وتخطئ مع الرقم المفرد.
الأحمر: متوسط الأرباح 100 × 18/37 = 48.6، بتشتت قدره √(100 × 18/37 × 19/37) = 5.0. أن تكون رابحًا يعني 51 ربحًا أو أكثر؛ ونقطة المنتصف، 50.5، تقع فوق المتوسط بمقدار 0.37 من التشتت، ويضع منحنى الجرس 35.6% فوقها. وجمع الاحتمالات الدقيقة للحصول على 51 و52 … 100 ربح يعطي 35.5%.
رهان الرقم الواحد: متوسط الإصابات 100/37 = 2.70، بتشتت قدره √(100 × 1/37 × 36/37) = 1.62. ثلاث إصابات أو أكثر تعني ما فوق 2.5، أي 0.12 من التشتت تحت المتوسط: 55.0% بحسب منحنى الجرس. أما بالضبط فهو 1 ناقص احتمالات 0 و1 و2 إصابة، 6.5% + 17.9% + 24.7%، فيبقى 50.9%.
يحتاج منحنى الجرس إلى نتائج كثيرة على جانبي المتوسط. والأحمر يملكها بعد 100 دورة؛ أما رقم يظهر أقل من ثلاث مرات في المتوسط فلا. بل إن المنحنى يعطي 8.7% لحالة «لا إصابة»، في حين أن الاحتمال الحقيقي 6.5%. ويضع تايلور (2021) التوزيع ذا الحدّين ومنحنى الجرس جنبًا إلى جنب بالطريقة نفسها.
استراحة فكاهية
جلسة واحدة من كل عشرين تقع خارج سيغما اثنتين. هناك دائمًا من يقف على الذيل.
المصادر
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.