اليودايمونيون
طلاب فيزياء، وعجلة كازينو اشتُريت نقدًا، وحاسوب صغير يكفي صغره لارتدائه إلى الطاولة.
بين عامي 1976 و1981 بنت مجموعة من طلاب الفيزياء في سانتا كروز حواسيب رقمية تقيس توقيت الكرة والدوّار وتحدّد قطاعًا من العجلة والرهانات ما زالت مفتوحة. وعدت اختباراتهم بميزة تبلغ 44%، وأعطت أول جلسة طويلة نحو 25%. ظلّت الأجهزة تتعطل، وهزم التشويش الكهربائي النسخة المدمجة في الحذاء عام 1981، وربحوا بضعة آلاف من الدولارات.
حدس في حانة في لاس فيغاس، 1975
في صيف 1975 أمضى نورمان باكارد، وهو طالب فيزياء، شهرين يعدّ الأوراق في لعبة البلاك جاك في لاس فيغاس مع صديقه جاك بايلز، وخرج بالكاد دون ربح أو خسارة. وعلى كأس أخيرة قال بايلز إنه مستعد للمراهنة على أن الروليت يمكن التغلّب عليه بالفيزياء، فتذكّر باكارد سطرًا غامضًا في كتاب إدوارد ثورب Beat the Dealer عن طريقة للروليت. استعار الاثنان مسجّل أشرطة، ووقفا بجوار العجلات في عدة كازينوهات، وراحا ينقران على الميكروفون كلما مرّت الكرةالمعداتالكرةالكرة الصغيرة التي تُطلق في المسار عكس اتجاه الدوّار. الكرات الحديثة من الإيفورين أو التفلون، قطرها 18–21 مم.قراءة النص كاملًا ← بنقطة ثابتة. وحين رُسمت النقرات على ورق بياني، أظهرت أن الكرة تتباطأ وتسقط بطريقة منتظمة. أما دوين فارمر، صديق باكارد منذ أيام المدرسة وطالب الدراسات العليا في جامعة كاليفورنيا في سانتا كروز، فوصف الأمر بأنه مضيعة للوقت، إلى أن أجرى الحساب بنفسه: من يستطيع قياس توقيت الكرة بدقة تقارب عُشر الثانية يُفترض، نظريًا، أن يتمكن من تحديد موضع سقوطها بفارق بضعة أرقام.
عجلة في مختبر الفيزياء
في ربيع 1976 دفع فارمر ودان براون $1,500 نقدًا ثمنًا لعجلة كازينو مجدَّدة في ورشة في رينو، وقالا إنها لحفلة أخوية طلابية. وظلّا شهورًا يحملانها ليلًا إلى المختبر التعليمي في الجامعة ويقيسانها بمستشعرات الأشعة تحت الحمراء، وساعة إلكترونية من صنعهما، وكاميرا يشغّلها صوت ارتطام الكرة بالمعدن. وما وجداه ما زال قائمة قصيرة جيدة بما يهمّ في الدورة. الهواء هو الذي يُحدث معظم التباطؤ، أكثر من المسار. والعجلة التي تختلّ استواؤها بما لا يزيد على عُشر بوصة يتغيّر فيها موضع مغادرة الكرة للمسار، وعلى العجلة المائلة تميل الكرة إلى مغادرته عند الجانب المرتفع، وهذا يسهّل التنبؤ. والكرات تختلف: كرة التفلون تباطأت بسرعة تعادل ضعف سرعة تباطؤ كرة من مادة مركّبة ككرات البلياردو. وبعد أن تغادر الكرة المسار تظلّ ترتدّ، بما لا يتجاوز في المتوسط ربع لفّة إلى ثلثها. كان هذا الارتداد هو السؤال الذي تتوقف عليه الخطة كلها، ولم يكن واسعًا إلى حدّ يمحو التنبؤ. ومع نهاية الصيف قدّرا الميزة الممكنة عند 44%، وهو الرقم الذي كان ثورب قد ذكره لجهازه.
الشركة والفطيرة
سمّوا المشروع Eudaemonic Enterprises، من كلمة يونانية تعني سعادة الحياة التي تُعاش وفق العقل. وكان كل من يعمل فيه سيتقاضى أجره من الأرباح المقبلة بنسبة الساعات التي بذلها: شريحة مما سمّوه Eudaemonic Pie، أي «فطيرة اليودايمونيين». وكان المقصود أن تموّل الأرباح جماعة من الأصدقاء يمارسون العلم بشروطهم.
حاسوب تحت الذراع، 1976–1978
نشأت الآلة الأولى من حاسوب يُباع طقمًا من القطع للتجميع، وصل بالبريد في سبتمبر 1976 بسعر $250، ومبنيّ على المعالج 6502 الذي استخدمته حواسيب آبل أيضًا. وكتب فيه فارمر، الذي لم يبرمج من قبل قط، معادلات الكرة والدوّارالمعداتالدوّارالجزء الدوّار من العجلة الذي يحمل الخانات.قراءة النص كاملًا ←. كانت نسخة الكازينو تُربط إلى الجسم، تحت الذراع أو، عند النساء، في حمّالة الصدر. وكان اللاعب الواقف عند العجلة يضغط مفاتيح بإصبعي قدميه الكبيرين: إصبع يسجّل مرور الصفرالعجلةالصفرالخانة الخضراء الوحيدة التي لا يغطيها أي رهان دفع متساوٍ أو دزينة أو عمود؛ ومصدر ميزة الكازينو. يُسمّى أيضًا: الصفر الواحد، 0.قراءة النص كاملًا ← ثم الكرة في كل مرة بنقطة ثابتة، والآخر ينقل البرنامج بين إعداداته. وكانت مواءمة البرنامج مع عجلة بعينها تستغرق نحو عشرين دقيقة من الضغط الصامت. ثم، بعد ثوانٍ قليلة من بدء كل دورة، كان الحاسوب يحدّد واحدًا من ثمانية قطاعاتالعجلةالقطاعقوس متصل من الخانات على العجلة، تمييزًا له عن مجموعة على لوحة الرهان.قراءة النص كاملًا ← في العجلة، أو يشير إلى «لا رهان»، بدبابيس هزّازة صغيرة تنقر الجلد. وكان لاعب ثانٍ يجلس أبعد على الطاولة، ويربطه بالأول إرسال لاسلكي ضعيف، يشعر بالاهتزاز نفسه فيغطي ثلاثة أرقام أو أربعة من ذلك القطاع، ويبدّل أحيانًا رقمًا بالرقم المجاور له على العجلة حتى تصعب قراءة النمط.
كانت الرحلة الأولى، إلى بحيرة تاهو ورينو في ديسمبر 1977، عطلًا طويلًا واحدًا في المعدات. وبعد أسابيع قليلة، في كازينو Golden Gate وسط لاس فيغاس، لعب فارمر وحده أربع ساعات ونصف الساعة بعشرة سنتات للرقاقةالمالالرقاقةقطعة تمثل مبلغًا ثابتًا، توضع على لوحة الرهان لإجراء رهان. تُسمّى أيضًا: check.قراءة النص كاملًا ←. كان الربح صغيرًا، لكنه قدّر مع براون، بحذر، وعلى مدى مئات من الدورات، أن الميزة تبلغ 25%.
صيف 1978
في ذلك الصيف لعبت المجموعة بالتناوب أسابيع، في وسط المدينة وعلى شارع Strip، جلستين في اليوم ومن دون العودة إلى الكازينو نفسه ليلتين متتاليتين. ودوّنوا دفترًا عن كل كازينو: عجلاته ومقدار ميلها، وموظفيه، ومواعيد تبديل النوبات فيه. وتبيّن أن عجلات لاس فيغاس مائلة على نحو مواتٍ وأن ألعاب آخر الليل بطيئة، وهذا ما يحتاج إليه الحاسوب، لأن الدوّار البطيء والكرة السريعة يتركان وقتًا أطول للقياس وللرهان. وكانت هناك ليالٍ جيدة. ففي Circus Circus حوّل تبديل الموزّعالأشخاصالكروبييهالموزّع على طاولة الروليت.قراءة النص كاملًا ← في الثانية صباحًا جلسة خاسرة إلى ربح بلغ بضع مئات من الدولارات، والرقاقة قيمتها 25 سنتًا. وكان هناك سيل متواصل من الأعطال: أسلاك مرتخية، ووصلات لاسلكية تنحرف مع الحرارة، وصدمات كهربائية من أسلاك الهوائي المخيطة في قمصانهم. وفي إحدى الليالي علقت الدبابيس الهزّازة وسخنت الأسلاك أكثر مما ينبغي، وواصلت إنغريد هورمان اللعب وهي تحترق، مفضّلة ذلك على مغادرة طاولة رابحة. ولاحظ موظفو الكازينوهات الربح ولم يلاحظوا الطريقة قط؛ وذات مرة أمسك موزّع، أزعجته كومة رقائق تكبر، بالعجلة الدائرة ولواها بعنف.
وفي ثلاثة عشر شهرًا قاموا بثماني رحلات إلى نيفادا وربحوا بضعة آلاف من الدولارات، وكان معظم رهانهم برقائق من فئة عشرة سنتات وخمسة وعشرين سنتًا. وجاءت جلسة في California Club في ديسمبر 1978 بأكثر من $1,000 في ثلاث ساعات، وأقنعتهم بأن الطريقة تستحق أجهزة أفضل.
باكارد وبايلز يقيسان توقيت كرات الروليت بمسجّل أشرطة في لاس فيغاس.
شراء عجلة كازينو في رينو؛ صيف من القياسات؛ أول حاسوب من طقم قطع.
أول رحلة إلى الكازينوهات، بحيرة تاهو ورينو. المعدات تتعطل.
كازينو Golden Gate، لاس فيغاس: أربع ساعات ونصف الساعة برهانات من عشرة سنتات، وتقدير الميزة عند 25%.
أسابيع من اللعب في لاس فيغاس والحاسوب مربوط إلى الجسم.
California Club: أكثر من $1,000 في ثلاث ساعات.
إعادة بناء الحاسوب ليدخل في حذاء.
لاس فيغاس: التشويش الكهربائي يطغى على الوصلة اللاسلكية. المشروع يتوقف.
نيفادا تحظر أجهزة التنبؤ. صدور كتاب The Eudaemonic Pie.
الحاسوب في الحذاء، 1980–1981
للتخلص من الأسلاك على أجسامهم قرروا أن يضعوا كل شيء في الأحذية. وأمضى مارك ترويت، وهو خريج فيزياء جديد كان قد انسحب من مقابلة توظيف لعمل في الرادارات العسكرية، عامًا ونصف العام في ذلك. والفكرة التي جعلت كل شيء يتّسع جاءت من فنّي في الجامعة: يُطفأ الحاسوب بين تنبؤ وآخر، فيحتاج إلى بطاريات أقل بكثير. وضع ترويت الشرائح الإلكترونية على لوحتي دارات حفرهما بنفسه، وقلب إحداهما فوق الأخرى وملأ الفراغ بشمع صلب، فصار ذلك كتلة قياسها نحو بوصتين في أربع بوصات وسمكها نصف بوصة يمكن المشي عليها. ووُضعت البطاريات والهوائي واثنان من الهزّازات الثلاثة في الكعب. وأعطت ثلاثة هزّازات بثلاث سرعات تسع إشارات: ثمانية قطاعات و«لا رهان». وجوّف إسكافي أحذية جلدية عادية ولم يطرح أي سؤال.
في نوفمبر 1981 أخذ فارمر والكاتب توماس باس الأحذية و$2,500 إلى لاس فيغاس. وعلى الطاولة الأولى أصاب التنبؤ الأول، ثم بدأت الهزّازات تعمل عشوائيًا. فالكازينوهات مليئة بالتشويش الكهربائي، من كاميرات المراقبة ولافتات النيون وآلات القمار، وقد طغى على الوصلة اللاسلكية الضعيفة بين الحذاءين؛ وفعل جهاز تلفزيون في غرفة النُّزُل الشيء نفسه. ولم تُفلح أيام من الإصلاحات قام بها أربعة أشخاص في علاجه، وتوقف المشروع عند ذلك الحد. ووُضعت المعدات في صندوق في قبو في سانتا كروز.
ماذا تعني 44%
على العجلة الأمريكية يربح رهان الرقم الواحدرهانرهان الرقم الواحدرقم واحد، ويدفع 35:1.قراءة النص كاملًا ← مرة واحدة كل 38 دورة في المتوسط ويدفع 35 مقابل 1، وهذا يكلّف اللاعب 5.26%. وميزة 44% هي قيمة الرهان نفسه حين يربح مرة واحدة كل 25 دورة: تعود 36 رقاقة مقابل كل 25 رقاقة مُراهَن بها. فالحاسوب إذن لم يكن بحاجة قط إلى معرفة الرقم. كان عليه أن يجعل الأرقام التي يختارها تظهر بوتيرة تعادل نحو مرة ونصف المرة مما تسمح به المصادفة.
لماذا ظلّت الميزة الكبيرة تبدو كالقمار
الميزة في رهان يدفع 35 مقابل 1 تؤتي ثمارها ببطء وبلا انتظام. وقد حذّر أحد مستشاري المجموعة من أن لاعبًا يضع $100 على الرقم قد يكون خاسرًا $10,000 أو $20,000 قبل أن تظهر الميزة، والحساب يؤيد ذلك: مع ميزة 44% على الأرقام المفردة يبقى اللاعب في خسارة بعد 100 دورة في ما يقارب مرة واحدة من كل أربع مرات. ولهذا بدأ اليودايمونيون برهانات من عشرة سنتات وبنوا رأس مال اللعبالمالرأس مال اللعبالمبلغ الإجمالي المخصّص للعب. وإدارة رأس المال هي تحديد الجزء الذي يُخاطَر به في كل رهان وفي كل جلسة.قراءة النص كاملًا ← من الأرباح، ولهذا أمضى آلان لويس، الذي انضم إليهم عام 1978، وقته في مسألة مقدار الرهان. ورأى فارمر لاحقًا أنهم كانوا مفرطين في الحذر. الرهانات الصغيرة أبقتهم في أمان، وكان معناها أيضًا أن سنوات من العمل لم تعُد إلا بالقليل جدًا.
كم كلّف المشروع وكم عاد به
ذهب نحو $15,000 إلى القطع والأدوات وأجور ترويت، ومعظمه من فارمر ومن ليتي بيلين، وهي محامية تزوجته لاحقًا. وسُجّل لفارمر 3,500 ساعة عمل، ولترويت 3,000 ولباكارد 2,000. ويقابل ذلك بضعة آلاف من الدولارات رُبحت برهانات صغيرة. وفي عام 1983 نشر فارمر إعلانًا في مجلة للقمار يطلب مستثمرين، واصفًا نموذجًا أوليًا له ميزة مثبتة في الكازينو من 20 إلى 40%. وحين كان اليودايمونيون يلعبون، لم يجد بحث بيلين في قانون نيفادا شيئًا يمنع التنبؤ بلعبة؛ وفي مايو 1985 جعلت الولاية استخدام جهاز لهذا الغرض جريمة. أما ما بقي فهو العلم. فبناء الحواسيب درّب فارمر وباكارد وأصدقاءهما على دراسة الشواش، وهو الميدان الذي صنعوا فيه أسماءهم.
قراءة الكتاب اليوم
توماس باس، الذي وضع الرهانات في الرحلة الأخيرة، روى القصة في كتابه The Eudaemonic Pie (1985)، المبنيّ على مقابلات طويلة مع المجموعة، وهو مصدر هذه الصفحة. أما تاريخه الموجز للروليت فأقل موثوقية من روايته للمشروع. فهو يكرر حكاية الكتبة الستة الذين استأجرهم جاغر، وهي ترجع إلى كتاب صدر عام 1901 ولا تتجاوزه (انظر «جوزيف جاغر»)، ويضع اختبار ثورب وشانون في الكازينو في عام 1962، في حين تقول روايات ثورب نفسه إنه كان في صيف 1961.
أسئلة
لا. ربحوا بضعة آلاف من الدولارات برهانات من عشرة سنتات وخمسة وعشرين سنتًا، وأنفقوا نحو $15,000 وآلافًا كثيرة من الساعات.
حين لعبوا، لم يكن في نيفادا قانون يمنع التنبؤ بلعبة بواسطة جهاز. وقد صار فيها قانون كهذا منذ 1985، وهو موجود اليوم في معظم الأماكن التي فيها كازينوهات.
لا تنجح حيث يُغلق الرهان لحظة إطلاق الكرة، كما في الاستوديوهات المباشرة، وإدخال جهاز كهذا إلى كازينو جريمة في معظم الولايات القضائية.
متعة الرياضيات
جرّب حلّها بنفسك أولًا. كل حل مطويّ؛ افتحه حين تكون مستعدًا.
قدّر اليودايمونيون أن حاسوبهم يساوي 44% على رهان الرقم الواحدرهانرهان الرقم الواحدرقم واحد، ويدفع 35:1.قراءة النص كاملًا ← في عجلة أمريكية، حيث يدفع الرهان 35 مقابل 1. كم مرة يجب أن يربح الرقم المختار ليصحّ ذلك؟ وكم خانةالمعداتالخانةواحدة من الحجرات الـ37 المرقّمة على الدوّار. تُسمّى أيضًا: الفتحة، الكأس.قراءة النص كاملًا ← من الخانات الـ38 يجب أن يستبعدها التنبؤ، إذا كان احتمال سقوط الكرةالمعداتالكرةالكرة الصغيرة التي تُطلق في المسار عكس اتجاه الدوّار. الكرات الحديثة من الإيفورين أو التفلون، قطرها 18–21 مم.قراءة النص كاملًا ← متساويًا في كل خانة من الخانات الباقية؟
إظهار الحل
الإجابة مرة واحدة كل 25 دورة. وهذا يساوي استبعاد 13 خانة وإبقاء 25.
الرقاقةالمالالرقاقةقطعة تمثل مبلغًا ثابتًا، توضع على لوحة الرهان لإجراء رهان. تُسمّى أيضًا: check.قراءة النص كاملًا ← الرابحة تعود ومعها 35 رقاقة أخرى: 36 رقاقة. إذا ربح الرقم مرة واحدة كل n دورة، فإن n رقاقة مُراهَن بها تعيد 36، فتكون قيمة الرهان 36/n − 1.
نساوي ذلك بالقيمة 0.44: 36/n = 1.44، إذن n = 25. ومن دون تنبؤ تكون n هي 38 وقيمة الرهان 36/38 − 1 = −5.26%.
لنفترض الآن أن التنبؤ يستبعد k خانة وأن احتمال سقوط الكرة متساوٍ في كل خانة من الخانات الأخرى وعددها 38 − k. الرقاقة الموضوعة على إحداها تربح مرة واحدة كل 38 − k دورة. وللوصول إلى 44% نحتاج إلى 38 − k = 25، إذن k = 13: أكثر بقليل من ثلث العجلة.
يُنقل عن فارمر في الكتاب قوله إن 40% تأتي من استبعاد ثماني خانات. وفي هذا النموذج البسيط تعطي ثماني خانات 36/30 − 1 = 20%، فلا بدّ أن الصورة الحقيقية كانت غير متساوية: بعض الخانات الباقية أرجح كثيرًا من غيرها.
الخانات المستبعدةالخانات الباقيةقيمة رهان الرقم الواحد038−5.26%2360%830+20%1325+44%1919+89%لنفترض أن رقمك يربح فعلًا مرة واحدة كل 25 دورة عند 35 مقابل 1، أي بميزة 44%. تراهن برقاقة واحدة في كل دورة. ما احتمال أن تكون في خسارة بعد 100 دورة؟ وبعد 500؟
إظهار الحل
الإجابة نحو 23% بعد 100 دورة، ويبقى نحو 6% بعد 500.
بعد 100 دورة تكون قد راهنت بما مجموعه 100 رقاقة، وكل ربح يعيد 36. ربحان يعيدان 72، أي خسارة 28؛ وثلاثة أرباح تعيد 108، أي ربح 8. فأنت إذن في خسارة إذا ربحت مرتين أو أقل.
احتمال ألّا تربح أي مرة في 100 دورة هو (24/25)¹⁰⁰ = 1.7%. ربح واحد بالضبط: 100 × (1/25) × (24/25)⁹⁹ = 7.0%. ربحان بالضبط: 4,950 × (1/25)² × (24/25)⁹⁸ = 14.5%. والمجموع 23.2%.
بعد 500 دورة تحتاج إلى 14 ربحًا لتكون رابحًا (14 × 36 = 504)، والمتوسط 20. واحتمال الحصول على 13 أو أقل هو نحو 6.2%.
هذا هو الوجه الآخر لرهان ضعيف الاحتمال. الميزة كبيرة، لكنها لا تظهر في نحو سلسلة واحدة من كل أربع سلاسل من 100 دورة. واللاعب الذي لا يعرف يقينًا أن الميزة موجودة لا يستطيع التمييز بين سلسلة سيئة وحاسوب معطّل، وهذا هو الموقف الذي وجد اليودايمونيون أنفسهم فيه كثيرًا.
الدوراتالأرباح اللازمة ليكون اللاعب رابحًااحتمال أن يكون في خسارة50240.1%100323.2%200618.6%500146.2%يقول الكتاب إن المراهنة بمبلغ $100 في كل مرة، 50 مرة في الساعة، مع ميزة 44%، يُفترض أن تعود بمبلغ $2,200 في الساعة. تحقّق من ذلك. ثم احسب ما عادت به الميزة نفسها عند الرهانات التي لعبت بها المجموعة فعلًا: عشرة سنتات للدورة.
إظهار الحل
الإجابة المبلغ $2,200 صحيح عند $100 للدورة. وعند عشرة سنتات للدورة يكون $2.20 في الساعة.
الميزة حصة من كل ما يُراهَن به. عند $100 للدورة و50 دورة في الساعة، يُراهَن بمبلغ $5,000، و44% منه تساوي $2,200.
عند 10 سنتات للدورة، يُراهَن بمبلغ $5 في الساعة، و44% من $5 تساوي $2.20. وحتى مع تغطية أربعة أرقام بعشرة سنتات لكل منها، يكون الناتج $8.80 في الساعة لشخصين.
لعبت المجموعة برهانات منخفضة لأنها كانت تبني رأس مال اللعبالمالرأس مال اللعبالمبلغ الإجمالي المخصّص للعب. وإدارة رأس المال هي تحديد الجزء الذي يُخاطَر به في كل رهان وفي كل جلسة.قراءة النص كاملًا ← من لا شيء، ولأن ميزة 44% عند 35 مقابل 1، كما تبيّن المسألة السابقة، قد تخسر ساعات. وكان ثمن ذلك الحذر أن الطريقة قد تعمل على أكمل وجه وتعود مع ذلك بأقل مما تعود به وظيفة.
استراحة فكاهية
الفيزياء نجحت. والنيون هو الذي ربح.
المصادر
- Bass, T. A. The Eudaemonic Pie.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. “The invention of the first wearable computer.”
- Nevada Revised Statutes، الفصل 465.