مسألة: كم ننتظر حتى يظهر الصفر
يظهر الصفر مرة كل 37 دورة في المتوسط. فكم تنتظر فعلًا، وماذا يفعل ذلك بمن يراهن على الدفع المتساوي؟
انتظار الصفر هندسي التوزيع: المتوسط 37 دورة، والوسيط 25، وانتظار واحد من كل عشرين يتجاوز 110 دورات. وعلى مدى جلسة من 200 دورة يتوقع من يراهن على الدفع المتساوي 5.4 صفر، وسيرى ما بين 1 و10.
المسألة
احتمالرياضياتالاحتمالفرصة وقوع نتيجة ما، من 0 إلى 1 أو من 0% إلى 100%. رقم واحد: 1/37 = 2.70%.قراءة النص كاملًا ← ظهور الصفرالعجلةالصفرالخانة الخضراء الوحيدة التي لا يغطيها أي رهان دفع متساوٍ أو دزينة أو عمود؛ ومصدر ميزة الكازينو. يُسمّى أيضًا: الصفر الواحد، 0.قراءة النص كاملًا ← 1/37 في كل دورة. (a) ما احتمال عدم ظهور الصفر في الدورات الـ37 التالية؟ (b) ما وسيط الانتظار؟ (c) على مدى جلسة من 200 دورة على الدفع المتساوي، كم صفرًا ينبغي أن يتوقع اللاعب، وما النطاق؟
الحلول
(a) (36/37)³⁷ = 36.3%. في أكثر من ثلث الحالات تمر 37 دورة دون أي صفر على الإطلاق، وهو الحساب نفسه الذي يجعل احتمال «إصابة واحدة على الأقل لرهان الرقم الواحدرهانرهان الرقم الواحدرقم واحد، ويدفع 35:1.قراءة النص كاملًا ← في 37 دورة» 63.7% فقط. (b) الانتظار W هندسي التوزيع؛ p(W > k) = (36/37)ᵏ؛ والوسيط هو قيمة k التي تعبر عندها هذه الكمية 0.5، أي k ≈ 25. نصف مرات الانتظار 25 دورة أو أقصر، ونصفها أطول؛ والمتوسط البالغ 37 يرفعه الذيل الطويل. (c) عدد الأصفار في 200 دورة ذو توزيع ذي حدين بمتوسط 200/37 = 5.4 وانحراف معياريرياضياتالانحراف المعياريالجذر التربيعي للتباين؛ المسافة المعتادة بين النتيجة والقيمة المتوقعة.قراءة النص كاملًا ← √(200 × (1/37) × (36/37)) ≈ 2.3. ونطاق 95% هو تقريبًا من 1 إلى 10.
كم يكلّف الصفر من يراهن على الدفع المتساوي
كل صفر يكلّف مبلغ رهان واحدًا، والأصفار هي الميزة كلها على الأحمررهانالأحمررهان الدفع المتساوي على الأرقام الحمراء الـ18. بالفرنسية: rouge.قراءة النص كاملًا ←: على مدى 37 دورة في المتوسط تتعادل مرات الربح الـ18 ومرات الخسارة الـ18، والصفر الواحد هو القيمة −1/37. وفي جلسة من 200 دورة برهان $10، تكلّف الأصفار المتوقعة البالغة 5.4 مبلغ $54، وهو بالضبط 200 × $10 / 37. الجلسة التي ظهر فيها صفران (2) نالت حظًا حسنًا بمقدار $34؛ والجلسة التي ظهرت فيها 9 أصفار نالت حظًا سيئًا بمقدار $36، وستبدو مزوّرة. وعلى طاولة بقاعدة La PartageقاعدةLa Partageقاعدة فرنسية: حين يظهر الصفر، يُردّ نصف مبلغ رهان الدفع المتساوي. تخفض ميزة الكازينو على هذه الرهانات إلى النصف، أي إلى 1.35%.قراءة النص كاملًا ← يكلّف كل صفر نصف مبلغ الرهان، وتنخفض الأرقام إلى النصف.
مسألة المتابعة
ما احتمال ظهور صفرين على التوالي؟ (1/37)² = 1/1,369. في كازينو يشغّل 20 طاولة بمعدل 50 دورة في الساعة، يعني ذلك نحو صفر مزدوجنوعالصفر المزدوجخانة 00 في العجلة الأمريكية. وجودها يرفع ميزة الكازينو من 2.70% إلى 5.26%.قراءة النص كاملًا ← واحد في مكان ما كل 1.4 ساعة. اللاعبون الذين يرونه يستنتجون أن العجلة معطوبة؛ أما الحساب فيقول إنه مجرد يوم ثلاثاء عادي.
جرّبها
محاكي الجلسات يعدّ الأصفار في كل جلسة. شغّل 100 دورة بضع مئات من المرات وارسم العدد: سيظهر المدرج التكراري الوارد أعلاه، بذيله الطويل إلى اليمين. ومن هذا الذيل تأتي الحكايات.
الصيغة
أسئلة
ليس في عجلة نزيهة. أما في عجلة منحازةالمختبرالعجلة المنحازةعجلة تجعل عيوبها المادية بعض الخانات أكثر احتمالًا من 1/37. نادرة، ولا تُكشف إلا بآلاف الدورات المسجّلة.قراءة النص كاملًا ← فقد تكون أي خانةالمعداتالخانةواحدة من الحجرات الـ37 المرقّمة على الدوّار. تُسمّى أيضًا: الفتحة، الكأس.قراءة النص كاملًا ← كذلك، ويلزم آلاف الدورات لمعرفة ذلك.
إنه رهان بميزة 2.70% مثل كل رهان آخر. يغيّر شكل الجلسة (يصبح الصفر ربحًا) لا تكلفتها.
لأن توزيع مدد الانتظار ملتوٍ: انتظارات قصيرة كثيرة، وقليل من الانتظارات الطويلة جدًا.
استراحة فكاهية
المتوسط 37، والوسيط 25، وذيل طويل تعيش فيه الأساطير.
المصادر
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.