مسألة: حدّ الطاولة
نظام مارتينغال برهان أساسي $10 على طاولة حدّها $500. كم مرة ينكسر، وكم يخسر حين ينكسر، وهل يفيد رفع الحدّ؟
ست خسائر متتالية تكسره: 1.8% في كل حلقة، ونحو 60% من جلسات الـ100 دورة. والانكسار يكلّف $630. ورفع الحدّ إلى $5,000 يجعل الانكسار أندر (0.25% في كل حلقة) وأكبر ($5,110). والخسارة المتوقعة لكل دولار مُراهَن به 2.70% عند أي حدّ.
المسألة
يراهن لاعب بمبلغ $10 على الأحمررهانالأحمررهان الدفع المتساوي على الأرقام الحمراء الـ18. بالفرنسية: rouge.قراءة النص كاملًا ← ويضاعف الرهان بعد كل خسارة، ويعود إلى البداية بعد كل ربح. الحدّ الأقصى للطاولة $500. (a) كم خسارة متتالية تكسر التدرّجاستراتيجيةالتدرّجأي قاعدة تغيّر مبلغ الرهان بناءً على النتائج السابقة. التدرّجات السلبية ترفعه بعد الخسارة، والإيجابية بعد الربح.قراءة النص كاملًا ←؟ (b) ما الاحتمالرياضياتالاحتمالفرصة وقوع نتيجة ما، من 0 إلى 1 أو من 0% إلى 100%. رقم واحد: 1/37 = 2.70%.قراءة النص كاملًا ← في كل حلقة؟ (c) ما الذي يُخسر عند الانكسار؟ (d) كيف يغيّر حدّ $5,000 الأجوبة؟ (e) هل يوجد حدّ يجعل النظام مربحًا؟
حلول (a)–(c)
مبالغ الرهان: 10، 20، 40، 80، 160، 320. والسابع سيكون 640 > 500، فست خسائر تكسره. (b) p(الخسارة) = 19/37 على الأحمر؛ (19/37)⁶ = 0.0183، أي نحو 1.8% في كل حلقة. والحلقة تستمر نحو دورتين في المتوسط، فجلسة من 100 دورة فيها نحو 50 حلقة، وp(انكسار واحد على الأقل) ≈ 1 − 0.9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630، أي 63 وحدةالمالالوحدةمبلغ الرهان الأساسي الذي يعمل به نظام ما أو لاعب ما. تُوصف التدرّجات بالوحدات حتى تنطبق على أي طاولة.قراءة النص كاملًا ← أساسية، مقابل $10 كانت الحلقة تحاول ربحها.
حل (d)
عند $5,000: يُسمح بمبالغ الرهان حتى 2,560؛ أما الرهان العاشر، 5,120، فيُرفض. تسع خسائر تكسره: (19/37)⁹ ≈ 0.25% في كل حلقة، أي نحو 11% من جلسات الـ100 دورة. الخسارة عند الانكسار: 10 + 20 + … + 2,560 = $5,110. لقد اشترى اللاعب كارثة أندر بثمن كارثة أكبر. وعلى مدى جلسات كثيرة تكون التكلفة المتوقعة للانكسارات p × الخسارة ≈ 0.0183 × 630 = $11.5 في كل حلقة عند حدّ $500، و0.0025 × 5,110 = $12.8 عند $5,000؛ وهو، في حدود التقريب، الرقم نفسه، وهو الخسارة المتوقعةرياضياتالخسارة المتوقعةالقيمة المتوقعة مضروبة في إجمالي المبلغ المُراهَن به؛ أي متوسط المبلغ الذي يُخسر على مدى جلسة أو فترة.قراءة النص كاملًا ← للحلقة مطروحًا منها $10 التي تربحها الحلقات الرابحة.
حل (e)
لا. الخسارة المتوقعة في كل حلقة = (إجمالي مبلغ الرهان المتوقع في الحلقة) / 37، عند أي حدّ، لأن كل رهان يساوي −1/37 من نفسه. والحدّ لا يقرر إلا كيفية توزيع الخسارة بين أرباح صغيرة كثيرة وخسائر كبيرة قليلة. ومن دون حدّ ومع رأس مالالمالرأس مال اللعبالمبلغ الإجمالي المخصّص للعب. وإدارة رأس المال هي تحديد الجزء الذي يُخاطَر به في كل رهان وفي كل جلسة.قراءة النص كاملًا ← لا نهائي، كان التدرّج «سينجح» بمعنى أنه لن ينكسر أبدًا، لكنه كان سيراهن أيضًا بمبلغ غير محدود بخسارة متوقعة قدرها 2.70% من ذلك المبلغ غير المحدود. ليس حدّ الطاولةالطاولةحدّ الطاولةالحدّ الأدنى والحدّ الأقصى المسموح بهما للرهان. والحدّ الأقصى هو ما يوقف تدرّجات المضاعفة.قراءة النص كاملًا ← هو ما يمنع نظام مارتينغالاستراتيجيةمارتينغالتدرّج يضاعف الرهان بعد كل خسارة. انظر قسم الاستراتيجية لمعرفة ما يفعله وما لا يفعله.قراءة النص كاملًا ← من النجاح. بل الحساب.
طاولتان حقيقيتان
مثال ثورب طاولة حدّها الأدنى $1 وحدّها الأقصى $1,000، يأمل فيها لاعب أن يربح $30 ثمنًا لعشائه، دولارًا بعد دولار. مبالغ الرهان 1، 2، 4 … 512 تسمح بعشرة رهانات، فعشر خسائر متتالية تكسر التدرّج: مرة كل 785 حلقة على العجلة الأوروبية (ومرة كل 613 على الأمريكية)، بتكلفة $1,023. وتنجح الحلقات الثلاثون كلها في 96.2% من الحالات. أما الـ3.8% الباقية فتخسر نحو $1,000، ومتوسط نتيجة الأمسية −$9.17، وهو بالضبط 1/37 من مبلغ $339 الذي تراهن به الحلقات الثلاثون في المتوسط. وطاولة حدّها الأدنى $5 وحدّها الأقصى $2,000 لا تختلف: مبالغ الرهان حتى $1,280 تسمح بتسعة رهانات، ويأتي الانكسار مرة كل 403 حلقات على العجلة الأوروبية (ومرة كل 323 على الأمريكية) ويكلّف $2,555.
لاعب ثري
امنح التدرّج رأس مال كبيرًا بدلًا من حدّ منخفض: 1,000 وحدة، ورهانًا أساسيًا بوحدة واحدة، و1,000 دورة على الأحمر، مع العودة إلى وحدة واحدة كلما كانت المضاعفة التالية أكبر مما تبقّى. حاكينا مليون أمسية من هذا النوع. على العجلة الأوروبية تنتهي 52% منها بربح، وتخسر 21% كل شيء، ومتوسط النتيجة −124 وحدة. وحتى في لعبة بلا صفرالعجلةالصفرالخانة الخضراء الوحيدة التي لا يغطيها أي رهان دفع متساوٍ أو دزينة أو عمود؛ ومصدر ميزة الكازينو. يُسمّى أيضًا: الصفر الواحد، 0.قراءة النص كاملًا ←، يكون فيها كل رهان عادلًا، لن ينتهي بربح إلا نحو 60%. الأمسية المعتادة ربح صغير؛ والمتوسط تدفع ثمنه الأمسيات التي تنتهي عند الصفر.
الدرس
تضع الكازينوهات الحدود لتقييد تباينهارياضياتالتباينمقياس لمدى انتشار النتائج حول القيمة المتوقعة. مرتفع في رهان الرقم الواحد، ومنخفض في رهانات الدفع المتساوي.قراءة النص كاملًا ← هي، لا لهزيمة أنظمة الرهان. وهزيمة مارتينغال أثر جانبي يسرّها أن تحصل عليه، والحساب كان سيهزمه على أي حال. واللاعب الذي يظن أن الحدّ هو المشكلة قد حدّد موضع الهاوية وظنها المنحدر.
الصيغة
أسئلة
يتيح لك الصمود حتى حدّ أعلى، حيث يكون الانكسار أندر وأكبر. والخسارة المتوقعة لكل دولار لا تتغير.
مبالغ الرهان 10، 30، 70، 150، 310: يُبلغ حدّ $500 بعد خمس خسائر، ويكلّف الانكسار $570. والنسبة نفسها، 2.70%.
حتى لا يستطيع لاعب واحد أن يراهن بأكثر مما يستطيع احتياطي الكازينو دفعه بارتياح. إنها إدارة للتباين.
متعة الرياضيات
جرّب حلّها بنفسك أولًا. كل حل مطويّ؛ افتحه حين تكون مستعدًا.
يبدأ مارتينغالاستراتيجيةمارتينغالتدرّج يضاعف الرهان بعد كل خسارة. انظر قسم الاستراتيجية لمعرفة ما يفعله وما لا يفعله.قراءة النص كاملًا ← بمبلغ $100 على الأحمررهانالأحمررهان الدفع المتساوي على الأرقام الحمراء الـ18. بالفرنسية: rouge.قراءة النص كاملًا ← ويسمح لنفسه بـn رهان على الأكثر في كل حلقة: بعد n خسارة متتالية يستسلم ويبدأ من جديد. اكتب متوسط نتيجة الحلقة الواحدة صيغةً بدلالة n، واحسبه لـ5 و6 و7 رهانات على عجلة أوروبية.
إظهار الحل
الإجابة المتوسط هو 100 × (1 − (38/37)ⁿ)، أي −$14.26 لـ5 رهانات، −$17.35 لـ6، −$20.52 لـ7. السماح برهانات أكثر يجعل متوسط الحلقة أسوأ، لا أفضل.
تربح الحلقة $100 ما لم تخسر الرهانات الـn كلها، وهذا يحدث باحتمال qⁿ، حيث q = 19/37. وحين تخسر كلها، يبلغ مجموع مبالغ الرهان 100، 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ ما قدره 100 × (2ⁿ − 1). إذن المتوسط هو 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
هنا 2q = 38/37، أي أكثر من 1 بقليل، فيكبر (2q)ⁿ مع n وينخفض المتوسط: n = 5 يعطي 1.1426 أي −$14.26؛ وn = 6 يعطي 1.1735 أي −$17.35؛ وn = 7 يعطي 1.2052 أي −$20.52. السلّم الأطول يخسر أقل تكرارًا، في 3.6% و1.8% و0.9% من الحلقات، لكن كل خسارة أكبر بمرتين، ويعبر الطاولة مال أكثر في كل حلقة، وعلى كل رهان 2.70%.
وعلى العجلة الأمريكية 2q = 40/38 والأرقام −$29.24، −$36.04، −$43.20 (تايلور، 2021). وفي لعبة بلا صفرالعجلةالصفرالخانة الخضراء الوحيدة التي لا يغطيها أي رهان دفع متساوٍ أو دزينة أو عمود؛ ومصدر ميزة الكازينو. يُسمّى أيضًا: الصفر الواحد، 0.قراءة النص كاملًا ← يكون 2q = 1، ومتوسط كل حلقة صفر بالضبط مهما طال السلّم.
«مارتينغال الكبير» يضاعف مبلغ الرهان بعد الخسارة ويضيف وحدةالمالالوحدةمبلغ الرهان الأساسي الذي يعمل به نظام ما أو لاعب ما. تُوصف التدرّجات بالوحدات حتى تنطبق على أي طاولة.قراءة النص كاملًا ← واحدة، فتكون مبالغ الرهان 1، 3، 7، 15، 31 … كم تكون رابحًا حين يأتي الربح الأول في الرهان الأول أو الثاني أو الثالث أو في الرهان رقم k؟ وبوحدة $10 وحدّ أقصى $500، كم مرة تنكسر الحلقة، وكم تكلّف الحلقة في المتوسط؟
إظهار الحل
الإجابة الربح في الرهان رقم k يتركك رابحًا k وحدات: +1، +2، +3 وهكذا. وبوحدة $10 وحدّ $500 تنكسر الحلقة بعد خمس خسائر، في 3.57% من الحلقات، بخسارة −$570. وفي المتوسط تخسر الحلقة $2.32 من $85.73 مُراهَن بها: 2.70%.
مبلغ الرهان رقم k هو 2ᵏ − 1 وحدة: 1، 3، 7، 15، 31. ومجموع مبالغ الرهانات الـk − 1 الأولى هو 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. والربح في الرهان رقم k يدفع 2ᵏ − 1، فتنتهي الحلقة رابحة (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k وحدة: وحدة إضافية واحدة عن كل خسارة قبل الربح.
بوحدة $10 تكون مبالغ الرهان $10 و$30 و$70 و$150 و$310؛ والتالي، $630، يتجاوز الحدّ الأقصى $500. وخمس خسائر متتالية، (19/37)⁵ = 3.57%، تكلّف 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
المتوسط: تجلب الأرباح $10 × k باحتمال (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 لقيم k من 1 إلى 5، ويأخذ الانكسار $570 باحتمال 3.57%؛ والمجموع −$2.32. ومتوسط المبلغ المُراهَن به $85.73 في الحلقة، و2.32/85.73 = 2.70%. أما مارتينغال العادي على الطاولة نفسها فينكسر بعد ست خسائر، في 1.83% من الحلقات، بخسارة −$630، ويخسر $1.74 من $64.20 مُراهَن بها: 2.70% مرة أخرى.
يخطط لاعب لنظام مارتينغال على الأحمر برهان أول قدره $1 على طاولة حدّها $1,000، فتكون عشرة رهانات ممكنة: $1 و$2 و$4 وهكذا حتى $512. كم مرة تخسر الحلقة الرهانات العشرة كلها، وكم يستغرق ذلك في المتوسط، وكم مرة تنتهي أمسية من 200 رهان على هذا النحو؟
إظهار الحل
الإجابة تخسر الحلقة الرهانات العشرة كلها مرة واحدة من كل 784 تقريبًا، وهذا يكلّف $1,023. أي نحو 1,600 رهان في المتوسط، وتصطدم أمسية من 200 رهان بالجدار في نحو 11% من الحالات. ومع ذلك تخسر الحلقة في المتوسط $0.31 من $11.31 مُراهَنًا بها: 2.70%.
رهان الأحمر يخسر باحتمال 19/37، والصفر محسوب. وعشر خسائر متتالية: (19/37)¹⁰ ≈ 0.00128، أي نحو 1 من 784. ومبالغ الرهان 1 + 2 + 4 + … + 512 مجموعها $1,023.
تستغرق الحلقة 2.05 رهان في المتوسط، فتستغرق 784 حلقة نحو 1,600 رهان. وبالعدّ دورةً دورةً، تظهر سلسلة من عشر خسائر في مكان ما ضمن 200 رهان في 11.3% من الحالات.
بين كارثة وأخرى يربح اللاعب $1 في كل حلقة: نحو $783 قبل الحلقة السيئة، ثم −$1,023، أي نحو −$240 على امتداد الفترة كلها. وفي كل حلقة: 1 × (1 − 0.00128) − 1,023 × 0.00128 ≈ −$0.31. والمال المُراهَن به في كل حلقة: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11.31. والقسمة: −0.31/11.31 = −2.70%.
قارن ذلك برهان أول قدره $10 عند حدّ $500، أي ستة رهانات: يأتي الجدار مرة كل 55 حلقة، وتصطدم به أمسية من 200 رهان في 84% من الحالات. الحدّ الأعلى يجعل الانهيار أندر وأكبر، لا أرخص.
استراحة فكاهية
أندر وأكبر، عند كل حدّ. والحاصل ثابت.
المصادر
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.