التباطؤ
الجزء الوحيد من الدورة القابل للتنبؤ حقًا.
يتبع تباطؤ الكرة على المسار منحنًى سلسًا يحدّده الاحتكاك ومقاومة الهواء. ومن أزمنة بضع لفّات يمكن تقدير زمن السقوط بدقة تبلغ جزءًا من الثانية. لكن التشتت بعد ذلك يُبطل معظم هذه الدقة.
النموذج
تُعامَل الكرةالمعداتالكرةالكرة الصغيرة التي تُطلق في المسار عكس اتجاه الدوّار. الكرات الحديثة من الإيفورين أو التفلون، قطرها 18–21 مم.قراءة النص كاملًا ← على أنها تتباطأ بفعل حدّ ثابت a (احتكاك التدحرج) وحدّ متناسب مع السرعة b·v (مقاومة الهواء والخسائر المعتمدة على السرعة): dv/dt = −(a + bv). والحل اقتراب أسّي من سرعة السقوط الحرجة. لذا فإن زمن اللفّة T = 2πr/v يزداد في كل لفّة بمقدار متزايد. قدّر a وb من اللفّات الأولى، فتتبعها اللفّات المتبقية وزمن السقوط. لا شيء غريب هنا؛ إنها ميكانيكا السنة الجامعية الأولى مطبّقة على كرة في مسار.
ما الذي يكسبه التقدير
زمن سقوط بدقة 0.2 ثانية، مع سرعة دوّارالمعداتالدوّارالجزء الدوّار من العجلة الذي يحمل الخانات.قراءة النص كاملًا ← تبلغ 15 خانةالمعداتالخانةواحدة من الحجرات الـ37 المرقّمة على الدوّار. تُسمّى أيضًا: الفتحة، الكأس.قراءة النص كاملًا ← في الثانية، يحدّد الخانة الواقعة تحت نقطة السقوط بدقة نحو ثلاث خانات. هذا هو الخبر السار لجهاز التنبؤ. أما الخبر السيئ فهو أن الكرة تعبر بعد ذلك المنحدرالمعداتالمنحدرالمنطقة المائلة بين مسار الكرة والخانات، وفيها المُحرِّفات.قراءة النص كاملًا ←، وتصطدم بـمُحرِّفالمعداتالمُحرِّفواحد من العوائق المعدنية على المنحدر التي تبعثر الكرة الساقطة. يُسمّى أيضًا: الزورق، الماسة، الدبوس.قراءة النص كاملًا ←، وترتدّ فوق الفواصلالمعداتالفاصلالحاجز المعدني بين خانتين على العجلة.قراءة النص كاملًا ←، فتتوزّع الخانة النهائية على نطاق عرضه 20 إلى 30 خانة. دقة مرحلة المسار يستهلكها في معظمها تشتت مرحلة السقوط.
ما الذي تبقّى
إذا كان لتوزيع التشتت منوال، بحيث تهبط الكرة قرب خانة السقوط أكثر مما تفعل عشوائيًا، فإن الرهان على قطاعالعجلةالقطاعقوس متصل من الخانات على العجلة، تمييزًا له عن مجموعة على لوحة الرهان.قراءة النص كاملًا ← حول الخانة المتنبَّأ بها يعطي ميزة صغيرة. قاس سمول وتسي (2012) ذلك في المختبر بكاميرا، ووجدا معدلات ظهور للقطاع المتنبَّأ به مرتفعة بما يكفي لقلب ميزة الكازينورياضياتميزة الكازينوالحصة من كل مبلغ رهان التي يحتفظ بها الكازينو في المتوسط: 2.70% في الروليت الأوروبي.قراءة النص كاملًا ← إلى ميزة موجبة للاعب ببضعة في المئة. وشروطهما، أي رؤية علوية كاملة، وعجلة معروفة، ورهانات توضع بعد إطلاق الكرة، لا وجود لها على طاولة مباشرة.
ما الذي يتغيّر من ساعة إلى أخرى
الثابتان ليسا ثابتين للعجلة الواحدة. فاليودايمونيون، الذين قاسوا توقيت عجلة كازينو سنوات في سبعينيات القرن الـ20، وجدوا أن الهواء هو الذي يُحدث معظم التباطؤ، أكثر من المسار، وأن للكرة أثرًا: كرة التفلون فقدت سرعتها بمعدل يعادل ضعف معدل كرة من مادة مركّبة ككرات البلياردو. ورأوا أيضًا تنبؤاتهم تنزاح من 5 إلى 10% في الساعة حين يُفتح باب أو يتغيّر الطقس، لأن الهواء الرطب أو الثقيل يبطّئ الكرة أبكر. ولذلك احتفظ برنامجهم بإعدادين منفصلين، واحد لمعدل تباطؤ الكرة وآخر للسرعة التي تغادر بها المسار، وكان اللاعب يعيد ضبطهما عند كل طاولة، ثم مرة أخرى كلما بدأت التنبؤات تنحرف.
لماذا يشرح المختبر هذا
ليس كي يستطيع أي أحد فعله. بل ليبيّن مِمّ تتكوّن عشوائية اللعبة فعلًا: مرحلة حتمية تحميها الكازينوهات بإغلاق الرهانات مبكرًا وبحدّ أدنى من اللفّات، ومرحلة فوضوية تحميها بالمُحرِّفات والفواصل المنخفضة. واللاعب الذي يفهم هذا يفهم لماذا تبقى نسبة 2.70% في أمان.
أجرِ الحساب بنفسك
وقّت مرور الكرة أمام مُحرِّف في أي بث لثلاث لفّات واستقرئ الباقي؛ ستكون في حدود لفّة واحدة من السقوط في معظم الأحيان، وهذه هي المرحلة الحتمية تعمل كما وُصفت. ثم راقب أين تهبط الكرة فعلًا نسبةً إلى الخانة الواقعة تحت نقطة السقوط، وسجّل النتائج على مدى خمسين دورة. هذا السجل هو توزيع التشتت، وعرضه هو الجواب عن «لماذا لا يمكن التغلّب على هذا؟».
الصيغة
أسئلة
لا. يتفاوت الاحتكاك مع الغبار والرطوبة والتآكل. وأجهزة التنبؤ تعيد التقدير في كل دورة.
ثلاث تعطي تقديرًا تقريبيًا؛ وخمس أو ست تقديرًا جيدًا. والحد الأدنى الذي تفرضه الاستوديوهات، أربع لفّات، لا يترك وقتًا كافيًا للرهان، والرهانات مغلقة على أي حال.
قلّة، ولفترة وجيزة، بالأجهزة، قبل أن تتكيّف الكازينوهات وتتبعها القوانين. انظر صفحة اللعب بميزة.
متعة الرياضيات
جرّب حلّها بنفسك أولًا. كل حل مطويّ؛ افتحه حين تكون مستعدًا.
في نموذج ثورب التوضيحي لكرةالمعداتالكرةالكرة الصغيرة التي تُطلق في المسار عكس اتجاه الدوّار. الكرات الحديثة من الإيفورين أو التفلون، قطرها 18–21 مم.قراءة النص كاملًا ← تتباطأ، إذا استغرقت اللفّة الواحدة على المسار T ثانية، فإن ما بقي للكرة من لفّات قبل أن تغادر المسار هو 1/(e^(3T/20) − 1) − 10/3 لفّة. كم لفّة تبقى بعد لفّة مدتها نصف ثانية، وبعد لفّة مدتها ثانية كاملة؟ وإلى أي حدّ تُزيح زلّة توقيت قدرها 0.012 ثانية عند T = 0.8 التنبؤ؟
إظهار الحل
الإجابة نحو 9.5 لفّة بعد لفّة مدتها نصف ثانية، و2.85 بعد لفّة مدتها ثانية. والزلّة تُزيح التنبؤ بنحو 0.12 من اللفّة، أي قرابة 4½ خانةالمعداتالخانةواحدة من الحجرات الـ37 المرقّمة على الدوّار. تُسمّى أيضًا: الفتحة، الكأس.قراءة النص كاملًا ←.
عند T = 0.5 يكون 3T/20 = 0.075 وe^0.075 ≈ 1.0779، إذن 1/0.0779 ≈ 12.84، و12.84 − 3.33 ≈ 9.51 لفّة. وعند T = 1 يكون e^0.15 ≈ 1.1618، و1/0.1618 ≈ 6.18، و6.18 − 3.33 ≈ 2.85. اللفّة السريعة تعني لفّات كثيرة متبقية، واللفّة الأبطأ بمرتين تترك أقل من ثلث العدد.
عند T = 0.8 تعطي الصيغة 4.51 لفّة؛ وعند T = 0.812 تعطي 4.39. وزلّة قدرها 12 جزءًا من ألف من الثانية، أي نحو الوقت الذي تستغرقه الكرة لتتدحرج مسافة عرضها، تُزيح التنبؤ بمقدار 0.12 من اللفّة: نحو 4½ خانة على عجلة من 37 خانة. وهذه الزلّة وحدها هي معظم الـ5.5 خانة التي تسمح بها ميزانية أخطاء ثورب لتوقيت الكرة (انظر اللعب بميزة)، ولهذا فإن الساعة، لا الحساب، هي ما يحدّ من قدرة المتنبئ.
استراحة فكاهية
قابلة للتنبؤ حتى السقوط. ثم تأتي المُحرِّفات.
المصادر
- Small, M. & Tse, C. K. “Predicting the outcome of roulette.”
- Bass, T. A. The Eudaemonic Pie.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”